Как посчитать доверительный интервал в excel

Как рассчитать доверительные интервалы в Excel

Доверительный интервал — это диапазон значений, который может содержать параметр генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности. Он рассчитывается по следующей общей формуле:

Доверительный интервал = (точечная оценка) +/- (критическое значение) * (стандартная ошибка)

Эта формула создает интервал с нижней границей и верхней границей, который, вероятно, содержит параметр совокупности с определенным уровнем достоверности:

Доверительный интервал = [нижняя граница, верхняя граница]

В этом руководстве объясняется, как рассчитать следующие доверительные интервалы в Excel:

1. Доверительный интервал для среднего

2. Доверительный интервал для разницы в средних значениях

3. Доверительный интервал для пропорции

4. Доверительный интервал для разницы в пропорциях

Пример 1: Доверительный интервал для среднего

Доверительный интервал = x +/- z*(s/√n)

• x : выборочное среднее
• z: выбранное значение z
• s: стандартное отклонение выборки
• n: размер выборки

Пример: Предположим, мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:

• Размер выборки n = 25
• Средний вес выборки x = 300
• Стандартное отклонение выборки s = 18,5

На следующем снимке экрана показано, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинного среднего веса популяции черепах:

95% доверительный интервал для истинного среднего веса популяции черепах составляет [292,75, 307,25] .

Пример 2: Доверительный интервал для разницы в средних значениях

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для разницы в средних значениях генеральной совокупности :

Доверительный интервал = ( x 1 – x 2 ) +/- t * √ ((s p 2 /n 1 ) + (s p 2 /n 2 ))

• x 1 , x 2 : среднее значение для образца 1, среднее значение для образца 2
• t: t-критическое значение, основанное на доверительном уровне и (n 1 +n 2 -2) степенях свободы
• s p 2 : объединенная дисперсия, рассчитанная как ((n 1 -1)s 1 2 + (n 2 -1)s 2 2 ) / (n 1 +n 2 -2)
• t: t-критическое значение
• n 1 , n 2 : размер выборки 1, размер выборки 2

Пример: Предположим, мы хотим оценить разницу в среднем весе между двумя разными видами черепах, поэтому мы собираем случайную выборку из 15 черепах из каждой популяции. Вот сводные данные для каждого образца:

Образец 1:

• х 1 = 310
• с 1 = 18,5
• п 1 = 15

Образец 2:

• х 2 = 300
• с 2 = 16,4
• п 2 = 15

На следующем снимке экрана показано, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной разницы в средних значениях населения:

95% доверительный интервал для истинной разницы в средних значениях населения составляет [-3,08, 23,08] .

Пример 3: Доверительный интервал для пропорции

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для пропорции :

Доверительный интервал = p +/- z * √ p (1-p) / n

• p: доля выборки
• z: выбранное значение z
• n: размер выборки

Пример: Предположим, мы хотим оценить долю жителей округа, поддерживающих определенный закон. Мы выбираем случайную выборку из 100 жителей и спрашиваем их об их отношении к закону. Вот результаты:

• Размер выборки n = 100
• Доля в пользу закона p = 0,56

На следующем снимке экрана показано, как рассчитать 95-процентный доверительный интервал для истинной доли жителей всего округа, поддерживающих закон:

95-процентный доверительный интервал для истинной доли жителей всего округа, поддерживающих закон, составляет [0,463, 0,657] .

Пример 4: Доверительный интервал для разницы в пропорциях

Доверительный интервал = (p 1 –p 2 ) +/- z*√(p 1 (1-p 1 )/n 1 + p 2 (1-p 2 )/n 2 )

• p 1 , p 2 : доля образца 1, доля образца 2
• z: z-критическое значение, основанное на доверительном уровне
• n 1 , n 2 : размер выборки 1, размер выборки 2

Пример. Предположим, мы хотим оценить разницу в доле жителей, поддерживающих определенный закон в округе А, по сравнению с долей жителей, поддерживающих закон в округе Б. Вот сводные данные для каждой выборки:

Образец 1:

• п 1 = 100
• p 1 = 0,62 (т.е. 62 из 100 жителей поддерживают закон)

Образец 2:

• п 2 = 100
• p 2 = 0,46 (т.е. 46 из 100 жителей поддерживают закон) На следующем снимке экрана показано, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной разницы в доле жителей, поддерживающих закон, между округами:

Доверительный интервал 9,5% для истинной разницы доли жителей, поддерживающих закон, между округами составляет [0,024, 0,296] .

Вычисление доверительного интервала в Microsoft Excel

Одним из методов решения статистических задач является вычисление доверительного интервала. Он используется, как более предпочтительная альтернатива точечной оценке при небольшом объеме выборки. Нужно отметить, что сам процесс вычисления доверительного интервала довольно сложный. Но инструменты программы Эксель позволяют несколько упростить его. Давайте узнаем, как это выполняется на практике.

Процедура вычисления

Этот метод используется при интервальной оценке различных статистических величин. Главная задача данного расчета – избавится от неопределенностей точечной оценки.

В Экселе существуют два основных варианта произвести вычисления с помощью данного метода: когда дисперсия известна, и когда она неизвестна. В первом случае для вычислений применяется функция ДОВЕРИТ.НОРМ, а во втором — ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ.

Способ 1: функция ДОВЕРИТ.НОРМ

Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ, относящийся к статистической группе функций, впервые появился в Excel 2010. В более ранних версиях этой программы используется его аналог ДОВЕРИТ. Задачей этого оператора является расчет доверительного интервала с нормальным распределением для средней генеральной совокупности.

Его синтаксис выглядит следующим образом:

«Альфа» — аргумент, указывающий на уровень значимости, который применяется для расчета доверительного уровня. Доверительный уровень равняется следующему выражению:

«Стандартное отклонение» — это аргумент, суть которого понятна из наименования. Это стандартное отклонение предлагаемой выборки.

«Размер» — аргумент, определяющий величину выборки.

Все аргументы данного оператора являются обязательными.

Функция ДОВЕРИТ имеет точно такие же аргументы и возможности, что и предыдущая. Её синтаксис таков:

Как видим, различия только в наименовании оператора. Указанная функция в целях совместимости оставлена в Excel 2010 и в более новых версиях в специальной категории «Совместимость». В версиях же Excel 2007 и ранее она присутствует в основной группе статистических операторов.

Граница доверительного интервала определяется при помощи формулы следующего вида:

Где X – это среднее выборочное значение, которое расположено посередине выбранного диапазона.

Теперь давайте рассмотрим, как рассчитать доверительный интервал на конкретном примере. Было проведено 12 испытаний, вследствие которых были получены различные результаты, занесенные в таблицу. Это и есть наша совокупность. Стандартное отклонение равно 8. Нам нужно рассчитать доверительный интервал при уровне доверия 97%.

1. Выделяем ячейку, куда будет выводиться результат обработки данных. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию».
2. Появляется Мастер функций. Переходим в категорию «Статистические» и выделяем наименование «ДОВЕРИТ.НОРМ». После этого клацаем по кнопке «OK».
3. Открывается окошко аргументов. Его поля закономерно соответствуют наименованиям аргументов.
   Устанавливаем курсор в первое поле – «Альфа». Тут нам следует указать уровень значимости. Как мы помним, уровень доверия у нас равен 97%. В то же время мы говорили, что он рассчитывается таким путем:

Значит, чтобы посчитать уровень значимости, то есть, определить значение «Альфа» следует применить формулу такого вида:

То есть, подставив значение, получаем:

Путем нехитрых расчетов узнаем, что аргумент «Альфа» равен 0,03. Вводим данное значение в поле.

Как известно, по условию стандартное отклонение равно 8. Поэтому в поле «Стандартное отклонение» просто записываем это число.

В поле «Размер» нужно ввести количество элементов проведенных испытаний. Как мы помним, их 12. Но чтобы автоматизировать формулу и не редактировать её каждый раз при проведении нового испытания, давайте зададим данное значение не обычным числом, а при помощи оператора СЧЁТ. Итак, устанавливаем курсор в поле «Размер», а затем кликаем по треугольнику, который размещен слева от строки формул.

Группа аргументов «Значения» представляет собой ссылку на диапазон, в котором нужно рассчитать количество заполненных числовыми данными ячеек. Всего может насчитываться до 255 подобных аргументов, но в нашем случае понадобится лишь один.

Данный оператор предназначен для расчета среднего арифметического значения выбранного диапазона чисел. Он имеет следующий довольно простой синтаксис:

Аргумент «Число» может быть как отдельным числовым значением, так и ссылкой на ячейки или даже целые диапазоны, которые их содержат.

Способ 2: функция ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ

Кроме того, в Экселе есть ещё одна функция, которая связана с вычислением доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ. Она появилась, только начиная с Excel 2010. Данный оператор выполняет вычисление доверительного интервала генеральной совокупности с использованием распределения Стьюдента. Его очень удобно использовать в том случае, когда дисперсия и, соответственно, стандартное отклонение неизвестны. Синтаксис оператора такой:

Как видим, наименования операторов и в этом случае остались неизменными.

Посмотрим, как рассчитать границы доверительного интервала с неизвестным стандартным отклонением на примере всё той же совокупности, что мы рассматривали в предыдущем способе. Уровень доверия, как и в прошлый раз, возьмем 97%.

1. Выделяем ячейку, в которую будет производиться расчет. Клацаем по кнопке «Вставить функцию».
2. В открывшемся Мастере функций переходим в категорию «Статистические». Выбираем наименование «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ». Клацаем по кнопке «OK».
3. Производится запуск окна аргументов указанного оператора.

В поле «Альфа», учитывая, что уровень доверия составляет 97%, записываем число 0,03. Второй раз на принципах расчета данного параметра останавливаться не будем.

Нетрудно догадаться, что аргумент «Число» — это адрес элемента выборки. Если выборка размещена единым массивом, то можно, использовав только один аргумент, дать ссылку на данный диапазон.

Как видим, инструменты программы Excel позволяют существенно облегчить вычисление доверительного интервала и его границ. Для этих целей используются отдельные операторы для выборок, у которых дисперсия известна и неизвестна.

Функция ДОВЕРИТ и нормальный доверительный интервал в Excel

Функция ДОВЕРИТ в Excel предназначена для определения доверительного интервала для среднего значения, найденного для генеральной совокупности, которая имеет нормальное распределение.

Другими словами, рассматриваемая функция позволяет определить допустимые отклонения для найденного среднего значения с учетом известных уровня значимости (заданная вероятность того, что некоторое значение находится в доверительном интервале) и стандартного отклонения (меры степени разброса значений относительно среднего значения для генеральной совокупности).

Как построить доверительный интервал нормального распределения в Excel

Поскольку интервал значений, в котором находится некоторая неизвестная величина, совпадает с областью, в которой могут изменяться значения этой величины, то вероятность правильности оценки данной величины стремится к нулю. Поэтому, принято устанавливать определенное значение вероятности для нахождения границ изменения некоторой величины. Значения, находящиеся между этими границами, называют доверительным интервалом.

Рассматриваемая функция была заменена функцией ДОВЕРИТ.НОРМ с версии Excel 2010. Функция ДОВЕРИТ была оставлена для обеспечения совместимости с документами, созданными в более ранних версиях табличного редактора.

Пример расчета доверительного интервала в Excel

Пример 1. В заводском цехе производят деталь, длина которой должна составлять 200 мм. Стандартное отклонение от длины – 3,6 мм. Для контроля качества деталей из партии (генеральная совокупность) делают выборку из 25 деталей. Определить интервал с доверительный уровнем 95%.

Вид таблицы данных:

Для определения доверительного интервала используем функцию:

• 1-B2 – уровень значимости (рассчитан с учетом зависимости от доверительного уровня);
• B3 – значение стандартного отклонения;
• B4 – количество деталей в выборке.

То есть, границы доверительного интервала соответствуют: (Xср-1,4112;Xср+1,4112). Допустим, было определено среднее значение выборки – 199,5 мм. Тогда доверительный интервал примерно определяется как (198,1;200,9), при этом номинальная длина детали (200 мм) находится в доверительном диапазоне, то есть производственный процесс не нарушен.

Как найти границы доверительного интервала в Excel

Пример 2. Были проведены опыты по определению скорости распространения звуковой волны в воздухе. Результаты 10 опытов записаны в таблицу. Определить левую и правую границы доверительного интервала для среднего значения.

Вид таблицы данных:

Для нахождения левой границы используем формулу:

В данном случае выборка и генеральная совокупность приняты как имеющиеся данные для 10 проведенных опытов. Среднее выборочное значение рассчитано с помощью функции СРЗНАЧ. Для получения левой границы доверительного интервала из данного значения вычитаем число, полученное в результате выполнения функции ДОВЕРИТ, в которой значение второго аргумента определено с помощью функции СТАНДОТКЛОН.Г, а число опытов – подсчетом количества ячеек функцией СЧЁТЗ.

Поскольку уровень значимости не задан, используем стандартное значение – 0,05.

Правая граница определяется аналогично с разницей в том, что к среднему значению выборки прибавляется результат расчета функции ДОВЕРИТ:

Доверительный интервал в Excel. 2 способа расчета доверительного интервала в Эксель

Доверительный интервал рассчитывают для решения статистических вопросов. Узнать это число без помощи компьютера достаточно сложно, поэтому стоит воспользоваться инструментами Excel при необходимости узнать допустимый диапазон отклонения от среднего значения выборки.

Вычисление доверительного интервала с оператором ДОВЕРИТ.НОРМ

Оператор относится к категории «Статистические». В ранних версиях он называется «ДОВЕРИТ», его функция состояла из тех же аргументов.

Полная функция выглядит так: =ДОВЕРИТ.НОРМ(Альфа;Станд_откл;Размер).

Рассмотрим формулу оператора по аргументам (каждый из них обязательно должен появиться в расчете):

1. «Альфа» – указывает на уровень значимости, на котором основывается вычисление.

Посчитать дополнительный уровень можно двумя способами:

• 1-(Альфа) – подойдет в случае, если аргумент является коэффициентом. Пример: 1-0,4=0,6 (0,4=40%/100%);
• (100-(Альфа))/100 – формулу используют при подсчете интервала в процентах. Пример: (100-40)/100=0,6.

1. Стандартное отклонение – допустимое отклонение в конкретной выборке.
2. Размер – количество анализируемой информации

Обратите внимание! Оператор ДОВЕРИТ все еще можно встретить в Excel. Если необходимо воспользоваться именно им, ищите его в разделе «Совместимость».

Проверим формулу в действии. Необходимо создать таблицу с несколькими значениями статистических расчетов. Представим, что стандартное отклонение равняется 7. Цель – определить интервал с уровнем доверия 80%.

1

Выносить отклонение и уровень доверия на лист не обязательно, эти данные можно будет вписать вручную. Вычисление проходит в несколько шагов:

1. Выбираем пустую ячейку и открываем «Менеджер функций». Он появится на экране после клика по значку «F(x)» возле строки формул. Попасть в меню функций также можно через вкладку «Формулы» на панели инструментов, в ее левой части находится кнопка «Вставить функцию» с таким же знаком.

1. Выбираем раздел «Статистические» и находим среди пунктов списка оператор ДОВЕРИТ.НОРМ. Требуется кликнуть по нему и нажать «ОК».

1. Откроется окно заполнения аргументов. В первой строке должна оказаться формула расчета аргумента «Альфа». Согласно условию, уровень доверия выражается в процентах, поэтому используем вторую формулу: (100-(Альфа))/100.
2. Стандартное отклонение уже известно, впишем его в строку или выберем ячейку с вынесенными на страницу данными. В третью строку попадает количество записей в таблице – здесь их 10. После заполнения всех полей нажимаем «Enter» или «ОК».

Функцию можно автоматизировать, чтобы изменение информации не привело к сбою вычисления. Выясним, как сделать это пошагово.

1. Когда поле «Размер» еще не заполнено, кликаем по нему, делая его активным. Потом открываем меню функций – оно находится в левой части экрана на одной линии со строкой формул. Чтобы открыть его, нажмем на стрелку. Нужно выбрать раздел «Другие функции», это последняя запись в списке.

1. Вновь появится «Менеджер функций». Среди статистических операторов необходимо найти функцию «Счет» и выбрать ее.

Важно! Аргументами функции СЧЕТ могут быть числа, ячейки или группы ячеек. В рассматриваемом случае подойдет последнее. Всего в формуле может быть не более 255-и аргументов.

1. В верхнем поле должны оказаться сгруппированные в диапазон ячейки значения. Кликнем по первому аргументу, выделим столбец без учета шапки и нажмем кнопку «ОК».

Значение интервала появится в ячейке. Такое число получилось с использованием данных примера: 2,83683532.

8

Определение доверительного интервала через ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ

Этот оператор тоже предназначен для вычисления диапазона отклонения. В расчетах применяют другую стратегию – в ней используется распределение Стьюдента при условии, что разброс величины неизвестен.

Формула отличается о предыдущей только оператором. Это выглядит так: =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(Альфа;Cтанд_откл;Размер).

Используем сохранившуюся таблицу для новых расчетов. Стандартное отклонение в новой задаче становится неизвестным аргументом.

1. Откроем «Менеджер функций» одним из описанных выше способов. Нужно найти в разделе «Статистические» функцию ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ, выбрать его и нажать «ОК».

1. Заполним аргументы функции. В первой строке остается та же формула: (100-(Альфа))/100.
2. Отклонение неизвестно, согласно условию задачи. Чтобы вычислить его, используем дополнительную формулу. Нужно кликнуть по второму полю в окне аргументов, открыть меню функций и выбрать пункт «Другие функции».

1. Необходим оператор СТАНДАРТОТКЛОН.В (по выборке) в разделе «Статистические». Выбираем его и нажимаем «ОК».

1. Заполняем первый аргумент открывшегося окна диапазоном ячеек со значениями без учета шапки. Не нужно нажимать после этого кнопку «ОК».

1. Вновь перейдем к аргументам ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ, дважды кликнув по этой надписи в строке формул. В поле «Размер» устанавливаем оператор СЧЕТ, как в прошлый раз.

После нажатия «Enter» или «ОК» в ячейке появится новое значение доверительного интервала. По Стьюденту оно получилось меньше – 0,540168684.

Определение границ интервала с двух сторон

Для расчета границ интервала необходимо узнать, каково среднее значение по нему, с помощью функции СРЗНАЧ.

1. Откроем «Менеджер функций» и выберем нужный оператор в разделе «Статистические».

1. Добавляем группу ячеек, содержащих значения, в поле первого аргумента и жмем кнопку «ОК».

1. Теперь можно определить правую и левую границу. Понадобятся простые математические действия. Расчет правой границы: выбираем пустую ячейку, проводим в ней сложение ячеек с доверительным интервалом и средним значением.

1. Для определения левой границы из среднего значения нужно вычесть доверительный интервал.

1. Такие же операции проделываем с доверительным интервалом по Стьюденту. В результате получаем границы интервала в двух вариантах.

Заключение

Благодаря «Менеджеру функций» Excel не составит труда найти доверительный интервал. Определить его можно двумя способами, в которых используются разные методы вычисления.