Lg что значит в математике

Стыдные вопросы о логарифмах: всё, что нужно знать программисту

Объясняем, почему не стоит бояться логарифмов и как их считать в Python.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Прежде чем начать обсуждение, давайте немного освежим знания и решим несколько стандартных задачек:

• Чему равен log₃ 81?
• А lg 2 × lb 10?
• А сумма log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3?

Если вы легко прорешали все три примера в уме, не пользуясь калькулятором, — можете сразу переходить к заключительной главе. Для тех же, кто слегка подзабыл школьные годы чудесные, — буквально пять минут ликбеза.

Что такое логарифм

По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 2 3 = 8. В нём:

• 2 — основание степени;
• 3 — показатель степени;
• 8 — результат возведения в степень.

У возведения в степень существует два обратных выражения. В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).

Таким образом, выражение 2 3 = 8 можно превратить в log₂ 8 = 3.

Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).

Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:

Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.

Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:

• log₃ 9 = 2
• log₄ 64 = 3
• log₅ 625 = 4
• log₇ 343 = 3
• log₁₀ 100 = 2
• log₂ 128 = 7
• log₂ 0,25 = −2
• log₆₂₅ 125 = 0,75

В общем виде запись log_AB читается так: логарифм B по основанию A.

Что такое натуральный логарифм

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.

Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.

На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.

Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что log_e x.

Что такое e

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Зачем нужны натуральные логарифмы

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e 5 ≈ 148,4132 кг

e 10 ≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:

Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = log_e 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.

Подставим в калькулятор и выясним, что x ≈ 6,9. Именно столько лет потребуется кристаллу, чтобы его масса достигла тонны.

Какие ещё есть виды логарифмов: десятичный и двоичный

Десятичный логарифм — логарифм, основание которого равно 10. Он обозначается lg x и очень удобен, потому что с ним легко вычислять круглые числа.

Двоичный логарифм — логарифм, основание которого равно 2. Он обозначается lb x и часто используется программистами, потому что компьютеры думают и считают в двоичной системе.

Свойства и формулы логарифмов

Список операций, которые можно совершать с логарифмами, ограничен. Если вы запомните все и научитесь их выполнять, то сможете щёлкать логарифмические задачки, как семечки.

У всех логарифмов есть ограничения. Их основание и аргумент должны быть больше нуля, при этом основание не может быть равно единице. На математическом языке это звучит так:

Перейдём к свойствам логарифмов. Они работают в обе стороны, и их применяют как слева направо, так и справа налево.

1. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю:

Например: log₁₇ 1 = 0

2. Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице:

Например: log₁₇ 17 = 1

3. Основное логарифмическое тождество:

Например: log₁₇ 17 5 = 5

4. Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов:

Например: log₅ 12,5 + log₅ 10 = log₅ (12,5 × 10) = log₅ 125 = 3

5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

Например: log₃ 63 − log₃ 7 = log₃ 63/7 = log₃ 9 = 2

6. Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно удобно выносить перед логарифмом:

Из этих двух формул следует:

Например: log_{2 3} 4 9 = 9/3 × log₂ 4 = 3 × 2 = 6

7. Если нам неудобно основание логарифма, то его можно изменить:

Например: log₂₅ 125 = log₅ 125/log₅ 25 = 3/2 = 1,5

Из этой формулы следует, что мы можем поменять местами основание и аргумент вот так:

Например: log₁₆ 4 = 1/log₄ 16 = 1/2 = 0,5

Как решать логарифмы: попробуйте сами

А теперь возвращаемся к задачам, которые мы дали в начале статьи.

Пример 1

log₃ 81

Вспомните, что 81 — это 9 2 . А 9 — это 3 2 . Таким образом:

Теперь логарифм не представляет для нас никаких сложностей. Воспользуемся свойством степени и вынесём четвёрку.

log₃ 3 4 = 4 × log₃ 3 = 4 × 1 =4

Пример 2

lg 2 × lb 10

Переведём сокращённые записи в полный вид:

lg 2 × lb 10 = log₁₀ 2 × log₂ 10

Приведём оба логарифма к одному основанию.

Пример 3

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3

Воспользуемся свойством суммы.

Представим 216 в виде степени числа 6 и вынесем с помощью свойства степени.

log₂₁₆ 6 = log₆ 3 6 = 1/3 × log₆ 6 = 1/3 × 1 = 1/3

Как считать логарифмы в Python

Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:

И теперь посчитаем log₂ 8, используя метод math.log (b, a):

Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание. Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.

Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:

Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:

Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:

Десятичный логарифм

Определение. Логарифмом числа b по основанию a , где a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтоб получить число b .

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10 x = b .

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x .

Калькулятор десятичных логарифмов

Свойства десятичного логарифмов

lg x = log₁₀ x — так как основание десятичного логарифма равно 10.

lg( x · y ) = lg x + lg y

lg x y = lg x — lg y

График функции y = lg x

(lg x )′ = 1 x ln 10

∫	lg x dx = x lg x — x ln 10 + C

lim	lg x = -∞
x → +0

lg 100 = lg 10 2 = 2

lg 1000 = lg 10 3 = 3

lg 0.1 = lg 10 -1 = -1

lg 0.01 = lg 10 -2 = -2

lg 0.001 = lg 10 -3 = -3

Доказать равенство: a lg b = b lg a .

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10 lg b · lg a = 10 lg a · lg b

(10 lg b ) lg a = (10 lg a ) lg b

Зная, что lg 2 = a , lg 3 = b , lg 5 = c , выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b ;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c ;

lg 16 = lg 2 4 = 4 · lg 2 = 4 a .

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25

Используем свойство логарифма степени lg x n = n lg x :

lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25 = lg 5 lg 3 2 · lg 3 3 lg 5 2 = lg 5 2 lg 3 · 3 lg 3 2 lg 5 = 3 4

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a , lg 3 = b .

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8 lg 30 = lg 2 3 lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 10 5 :

= 3 lg 2 lg 3 + lg 10 = 3 lg 2 lg 3 + 1 = 3 lg 10 5 lg 3 + 1 = 3(lg 10 — lg 5) lg 3 + 1 = 3(1 — lg 5) lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a , lg 3 = b :

log₃₀ 8 = 3(1 — a ) b + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Логарифм. Десятичный логарифм.

За основание логарифмов нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными. При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg, а не log; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log₁₀105 на упрощенное lg105; а log₁₀2 на lg2.

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как [lg а], а мантисса как а>.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно[lg 2] = 0, ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно,[lg 543,1] = 2, ≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. Десятичный логарифм целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

То а= 10 n , из чего получаем

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, показанный единицей с предыдущими нулями, равен — п, где п — численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = — 3, lg 0,000001 =-6.

,

То a= 10 -n и получается

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10 < 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

Именно это и нужно было обосновать.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 =3.

1000 < 5673,1 < 10 000.

lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

можно представить как,

По большому счету, если целая часть не отрицательного числа а, большего единицы, включает п цифр, то

Из чего делаем обобщение

lg 10 n -1 lgа< lg 10 n .,

И можно заключить,

Четвертый признак десятичного логарифма. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей единицы, равна — п, где п — число нулей в заданной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, включая и нуль целых.

Разберем. Характеристика логарифма lg 0,0015=-3.

0,001 < 0,0015 < 0,01.

lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,

Выходит, lg 0,0015 = — 3 + б, где б — известная правильная положительная дробь. И таким образом

Характеристика логарифма lg 0,6 = — 1. И в правду верно.

lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

Вследствие этого получаем ,

где б — известная правильная положительная дробь. И, таким образом

Обобщая рассмотренное выше сделаем вывод: если перед первой значащей цифре правильной десятичной дроби б есть п нулей (включая в том числе и нуль целых), то

Из чего можно вывести,

Пятый признак. Если помножить числа на 10 n ,то десятичный логарифм его возрастет на п.

Действительно, по формуле логарифма произведения

lg (739,15 •100) = lg 739,15 + 2;

lg (28 •10000) = lg 28 + 4.

Перемещение запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равноценно операции перемножения заданной дроби с 10 n . Следовательно, при перемещении запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм возрастет на п.

Шестой признак. Если поделить число на 10 n , то десятичный логарифм уменьшается на п.

lg 0,46 /₁₀₀₀ = lg 0,46 — 3.

При перемещении запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п.

Например, lg 0,3567 = lg 35,67 -2;lg 0,00054 = lg 0,54 -3.

Все обоснованные ранее признаки десятичных логарифмов касались их характеристики. Далее разберем признаки мантиссы десятичных логарифмов.

Седьмой признак десятичного логарифма. Мантисса десятичного логарифма положительного числа не меняется, если умножить это число на 10 n с заданным целым показателем п.

Обоснованно, что при заданном целом п (как положительном, так и отрицательном)

Но дробная часть числа не меняется при прибавлении к нему целого числа.

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения существует, если Частное от деления Корень

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц [⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов [2] :

x>0″ width=»» height=»» />. Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой [3] .

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

• Если то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что lg 345 находится в промежутке (2, 3).
• Если то ближайшее к целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, lg 0,0014 находится в интервале (-3, -2).

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10 n

Число логарифм характеристика мантисса запись n lg(n) C = floor(lg(n) ) M = (lg(n) − характеристика) 5 000 000 6.698 970. 6 0.698 970. 6.698 970. 50 1.698 970. 1 0.698 970. 1.698 970. 5 0.698 970. 0 0.698 970. 0.698 970. 0.5 −0.301 029. −1 0.698 970. 1 .698 970. 0.000 005 −5.301 029. −6 0.698 970. 6 .698 970.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker) [5] .

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого [6] . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов [7] :