Математические функции модуля math в Python
Модуль math является стандартным модулем в Python и всегда доступен. Чтобы использовать математические функции этого модуля, необходимо импортировать модуль с помощью import math . Например:
Этот модуль не поддерживает использование типа данных complex. Модуль cmath является аналогом модуля math, но уже с поддержкой типа complex.
Список функций модуля math в Python
Ниже приведен список всех функций и атрибутов, определенных в модуле math, с кратким объяснением того, что они делают.
9.2. math — Mathematical functions¶
This module is always available. It provides access to the mathematical functions defined by the C standard.
These functions cannot be used with complex numbers; use the functions of the same name from the cmath module if you require support for complex numbers. The distinction between functions which support complex numbers and those which don’t is made since most users do not want to learn quite as much mathematics as required to understand complex numbers. Receiving an exception instead of a complex result allows earlier detection of the unexpected complex number used as a parameter, so that the programmer can determine how and why it was generated in the first place.
The following functions are provided by this module. Except when explicitly noted otherwise, all return values are floats.
9.2.1. Number-theoretic and representation functions¶
Return the ceiling of x, the smallest integer greater than or equal to x. If x is not a float, delegates to x.__ceil__() , which should return an Integral value.
Return a float with the magnitude (absolute value) of x but the sign of y. On platforms that support signed zeros, copysign(1.0, -0.0) returns -1.0.
Return the absolute value of x.
math. factorial ( x ) ¶
Return x factorial. Raises ValueError if x is not integral or is negative.
Return the floor of x, the largest integer less than or equal to x. If x is not a float, delegates to x.__floor__() , which should return an Integral value.
Return fmod(x, y) , as defined by the platform C library. Note that the Python expression x % y may not return the same result. The intent of the C standard is that fmod(x, y) be exactly (mathematically; to infinite precision) equal to x — n*y for some integer n such that the result has the same sign as x and magnitude less than abs(y) . Python’s x % y returns a result with the sign of y instead, and may not be exactly computable for float arguments. For example, fmod(-1e-100, 1e100) is -1e-100 , but the result of Python’s -1e-100 % 1e100 is 1e100-1e-100 , which cannot be represented exactly as a float, and rounds to the surprising 1e100 . For this reason, function fmod() is generally preferred when working with floats, while Python’s x % y is preferred when working with integers.
Return the mantissa and exponent of x as the pair (m, e) . m is a float and e is an integer such that x == m * 2**e exactly. If x is zero, returns (0.0, 0) , otherwise 0.5 <= abs(m) < 1 . This is used to “pick apart” the internal representation of a float in a portable way.
math. fsum ( iterable ) ¶
Return an accurate floating point sum of values in the iterable. Avoids loss of precision by tracking multiple intermediate partial sums:
The algorithm’s accuracy depends on IEEE-754 arithmetic guarantees and the typical case where the rounding mode is half-even. On some non-Windows builds, the underlying C library uses extended precision addition and may occasionally double-round an intermediate sum causing it to be off in its least significant bit.
For further discussion and two alternative approaches, see the ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation.
Return the greatest common divisor of the integers a and b. If either a or b is nonzero, then the value of gcd(a, b) is the largest positive integer that divides both a and b. gcd(0, 0) returns 0 .
New in version 3.5.
Return True if the values a and b are close to each other and False otherwise.
Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances.
rel_tol is the relative tolerance – it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass rel_tol=0.05 . The default tolerance is 1e-09 , which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be greater than zero.
abs_tol is the minimum absolute tolerance – useful for comparisons near zero. abs_tol must be at least zero.
If no errors occur, the result will be: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol) .
The IEEE 754 special values of NaN , inf , and -inf will be handled according to IEEE rules. Specifically, NaN is not considered close to any other value, including NaN . inf and -inf are only considered close to themselves.
New in version 3.5.
PEP 485 – A function for testing approximate equality
Return True if x is neither an infinity nor a NaN, and False otherwise. (Note that 0.0 is considered finite.)
New in version 3.2.
Return True if x is a positive or negative infinity, and False otherwise.
Return True if x is a NaN (not a number), and False otherwise.
Return x * (2**i) . This is essentially the inverse of function frexp() .
Return the fractional and integer parts of x. Both results carry the sign of x and are floats.
Return the IEEE 754-style remainder of x with respect to y. For finite x and finite nonzero y, this is the difference x — n*y , where n is the closest integer to the exact value of the quotient x / y . If x / y is exactly halfway between two consecutive integers, the nearest even integer is used for n . The remainder r = remainder(x, y) thus always satisfies abs(r) <= 0.5 * abs(y) .
Special cases follow IEEE 754: in particular, remainder(x, math.inf) is x for any finite x, and remainder(x, 0) and remainder(math.inf, x) raise ValueError for any non-NaN x. If the result of the remainder operation is zero, that zero will have the same sign as x.
On platforms using IEEE 754 binary floating-point, the result of this operation is always exactly representable: no rounding error is introduced.
New in version 3.7.
Return the Real value x truncated to an Integral (usually an integer). Delegates to x.__trunc__() .
Note that frexp() and modf() have a different call/return pattern than their C equivalents: they take a single argument and return a pair of values, rather than returning their second return value through an ‘output parameter’ (there is no such thing in Python).
For the ceil() , floor() , and modf() functions, note that all floating-point numbers of sufficiently large magnitude are exact integers. Python floats typically carry no more than 53 bits of precision (the same as the platform C double type), in which case any float x with abs(x) >= 2**52 necessarily has no fractional bits.
9.2.2. Power and logarithmic functions¶
Return e raised to the power x, where e = 2.718281. is the base of natural logarithms. This is usually more accurate than math.e ** x or pow(math.e, x) .
Return e raised to the power x, minus 1. Here e is the base of natural logarithms. For small floats x, the subtraction in exp(x) — 1 can result in a significant loss of precision; the expm1() function provides a way to compute this quantity to full precision:
New in version 3.2.
With one argument, return the natural logarithm of x (to base e).
With two arguments, return the logarithm of x to the given base, calculated as log(x)/log(base) .
Return the natural logarithm of 1+x (base e). The result is calculated in a way which is accurate for x near zero.
Return the base-2 logarithm of x. This is usually more accurate than log(x, 2) .
New in version 3.3.
int.bit_length() returns the number of bits necessary to represent an integer in binary, excluding the sign and leading zeros.
Return the base-10 logarithm of x. This is usually more accurate than log(x, 10) .
Return x raised to the power y . Exceptional cases follow Annex ‘F’ of the C99 standard as far as possible. In particular, pow(1.0, x) and pow(x, 0.0) always return 1.0 , even when x is a zero or a NaN. If both x and y are finite, x is negative, and y is not an integer then pow(x, y) is undefined, and raises ValueError .
Unlike the built-in ** operator, math.pow() converts both its arguments to type float . Use ** or the built-in pow() function for computing exact integer powers.
Return the square root of x.
9.2.3. Trigonometric functions¶
Return the arc cosine of x, in radians.
Return the arc sine of x, in radians.
Return the arc tangent of x, in radians.
Return atan(y / x) , in radians. The result is between -pi and pi . The vector in the plane from the origin to point (x, y) makes this angle with the positive X axis. The point of atan2() is that the signs of both inputs are known to it, so it can compute the correct quadrant for the angle. For example, atan(1) and atan2(1, 1) are both pi/4 , but atan2(-1, -1) is -3*pi/4 .
Return the cosine of x radians.
Return the Euclidean norm, sqrt(x*x + y*y) . This is the length of the vector from the origin to point (x, y) .
Return the sine of x radians.
Return the tangent of x radians.
9.2.4. Angular conversion¶
Convert angle x from radians to degrees.
Convert angle x from degrees to radians.
9.2.5. Hyperbolic functions¶
Hyperbolic functions are analogs of trigonometric functions that are based on hyperbolas instead of circles.
Return the inverse hyperbolic cosine of x.
Return the inverse hyperbolic sine of x.
Return the inverse hyperbolic tangent of x.
Return the hyperbolic cosine of x.
Return the hyperbolic sine of x.
Return the hyperbolic tangent of x.
9.2.6. Special functions¶
The erf() function can be used to compute traditional statistical functions such as the cumulative standard normal distribution:
New in version 3.2.
Return the complementary error function at x. The complementary error function is defined as 1.0 — erf(x) . It is used for large values of x where a subtraction from one would cause a loss of significance.
New in version 3.2.
New in version 3.2.
Return the natural logarithm of the absolute value of the Gamma function at x.
New in version 3.2.
9.2.7. Constants¶
The mathematical constant π = 3.141592. to available precision.
The mathematical constant e = 2.718281. to available precision.
The mathematical constant τ = 6.283185. to available precision. Tau is a circle constant equal to 2π, the ratio of a circle’s circumference to its radius. To learn more about Tau, check out Vi Hart’s video Pi is (still) Wrong, and start celebrating Tau day by eating twice as much pie!
New in version 3.6.
A floating-point positive infinity. (For negative infinity, use -math.inf .) Equivalent to the output of float(‘inf’) .
New in version 3.5.
A floating-point “not a number” (NaN) value. Equivalent to the output of float(‘nan’) .
New in version 3.5.
CPython implementation detail: The math module consists mostly of thin wrappers around the platform C math library functions. Behavior in exceptional cases follows Annex F of the C99 standard where appropriate. The current implementation will raise ValueError for invalid operations like sqrt(-1.0) or log(0.0) (where C99 Annex F recommends signaling invalid operation or divide-by-zero), and OverflowError for results that overflow (for example, exp(1000.0) ). A NaN will not be returned from any of the functions above unless one or more of the input arguments was a NaN; in that case, most functions will return a NaN, but (again following C99 Annex F) there are some exceptions to this rule, for example pow(float(‘nan’), 0.0) or hypot(float(‘nan’), float(‘inf’)) .
Note that Python makes no effort to distinguish signaling NaNs from quiet NaNs, and behavior for signaling NaNs remains unspecified. Typical behavior is to treat all NaNs as though they were quiet.
Математические модули в Python: Math и Cmath.
При написании программ в повседневной жизни мы обычно сталкиваемся с ситуациями, когда нам нужно использовать небольшую математику, чтобы выполнить задачу. Как и другие языки программирования, Python предоставляет различные операторы для выполнения базовых вычислений, таких как * для умножения, % для модуля и // для деления пола.
Если вы пишете программу для выполнения определенных задач, таких как изучение периодического движения или моделирования электрических цепей, вам нужно будет работать с тригонометрическими функциями, а также с комплексными числами. Хотя вы не можете использовать эти функции напрямую, вы можете получить к ним доступ, включив сначала два математических модуля. Эти модули являются math и cmath .
Первый дает вам доступ к гиперболическим, тригонометрическим и логарифмическим функциям для действительных чисел, а последний позволяет работать с комплексными числами. В этом уроке я рассмотрю все важные функции, предлагаемые этими модулями. Если явно не указано, все возвращаемые значения — это float.
Арифметические функции
Эти функции выполняют различные арифметические операции, такие как вычисление пола, потолка или абсолютного значения числа с использованием функций floor(x) , ceil(x) и fabs(x) соответственно. Функция ceil(x) вернет наименьшее целое число, которое больше или равно x. Аналогично, floor(x) возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное x. Функция fabs(x ) возвращает абсолютное значение x.
Вы также можете выполнять нетривиальные операции, такие как вычисление факториала числа с использованием factorial(x) . Факториал является произведением целого числа и всех положительных целых чисел, меньших его. Он широко используется при работе с комбинациями и перестановками. Его также можно использовать для вычисления значения функций синуса и косинуса.
Еще одна полезная функция в модуле math — gcd(x, y) , которая дает вам наибольший общий делитель (GCD) двух чисел x и y. Когда x и y оба не равны нулю, эта функция возвращает наибольшее положительное целое число, которое делит как x, так и y. Вы можете косвенно использовать его для вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, используя следующую формулу:
Вот несколько арифметических функций, которые предлагает Python:
Тригонометрические функции
Эти функции связывают углы треугольника по бокам. У них много приложений, в том числе изучение треугольников и моделирование периодических явлений, таких как звуковые и световые волны. Имейте в виду, что угол, который вы предоставляете, находится в радианах.
Вы можете рассчитать sin(x) , cos(x) и tan(x) непосредственно с помощью этого модуля. Однако нет прямой формулы для вычисления cosec(x) , sec(x) и cot(x) , но их значение равно обратному значению, возвращаемому sin(x) , cos(x) и tan(x) соответственно.
Вместо того, чтобы вычислять значение тригонометрических функций под определенным углом, вы также можете сделать обратный и рассчитать угол, в котором они имеют заданное значение, используя asin(x) , acos(x) и atan(x) .
Вы знакомы с теоремой Пифагора ? В нем говорится, что квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу) равна сумме квадратов двух других сторон. Гипотенуза также является самой большой стороной прямоугольного треугольника. Математический модуль обеспечивает функцию hypot(a, b) для вычисления длины гипотенузы.
Гиперболические функции
Гиперболические функции являются аналогами тригонометрических функций, которые основаны на гиперболе вместо круга. В тригонометрии точки (cos b, sin b) представляют точки единичного круга. В случае гиперболических функций точки (cosh b, sinh b) представляют точки, которые образуют правую половину равносторонней гиперболы.
Точно так же, как тригонометрические функции, вы можете непосредственно вычислить значение sinh(x) , cosh(x) и tanh(x) . Остальные значения могут быть рассчитаны с использованием различных отношений между этими тремя значениями. Существуют также другие функции asinh(x) , acosh(x) и atanh(x) , которые могут быть использованы для вычисления обратных соответствующих гиперболических значений.
Так как math.pi равно примерно 3.141592653589793, когда мы использовали asinh() для значения, возвращаемого sinh(math.pi) , мы получили нашу π обратно.
Степень и логарифмические функции
Вероятнее всего, вы чаще всего сталкиваетесь со степенями и логарифмами, чем с гиперболическими или тригонометрическими функциями. К счастью, модуль math предоставляет множество функций, которые помогут нам вычислить логарифмы.
Вы можете использовать log(x, [base]) для вычисления log заданного числа x для данной базы. Если вы оставите необязательный аргумент базы, log x будет вычисляться до базы e. Здесь e — математическая константа, значение которой равно 2.71828182 . и к ней можно получить доступ с использованием math.e . Кстати, Python также позволяет вам получить доступ к другой константе π, используя math.pi .
Если вы хотите рассчитать значения логарифма base-2 или base-10, использование log2(x) и log10(x) вернет более точные результаты, чем log(x, 2) и log(x, 10) . Имейте в виду, что функция log3(x) отсутствует, поэтому вам нужно будет использовать log(x, 3) для вычисления значений логарифма базы-3. То же самое касается всех других баз.
Если значение, логарифм которого вы вычисляете, очень близко к 1, вы можете использовать log1p(x) . 1p в log1p означает 1 плюс. Поэтому log1p(x) вычисляет log(1 + x) , где x близок к нулю. Однако результаты более точны с log1p(x) .
Вы также можете рассчитать значение числа x, возведённого в степень y, используя pow(x, y) . Перед вычислением степени эта функция преобразует оба аргумента в тип float. Если вы хотите, чтобы конечный результат был вычислен в точных целых степенях, вы должны использовать встроенную функцию pow() или оператор ** .
Вы также можете вычислить квадратный корень любого заданного числа x, используя sqrt(x) , но то же самое можно также сделать, используя pow(x, 0.5) .
Сложные числа
Сложные числа хранятся внутри с использованием прямоугольных или декартовых координат. Комплексное число z будет представлено в декартовых координатах как z = x + iy , где x представляет действительную часть, а y представляет собой мнимую часть. Другим способом их представления является использование полярных координат.
В этом случае комплексное число z будет определяться комбинацией модуля r и фазового угла phi. Модуль r является расстоянием между комплексным числом z и началом. Угол phi — угол против часовой стрелки, измеренный в радианах от положительной оси x до отрезка линии, соединяющего z и начало координат.
При работе с комплексными числами модуль cmath может оказать большую помощь. Модуль комплексного числа может быть рассчитан с использованием встроенной функции abs() , и его фаза может быть рассчитана с использованием функции phase(z) , доступной в модуле cmath. Вы можете преобразовать комплексное число в прямоугольной форме в полярную форму, используя polar(z) , которая вернет пару (r, phi), где r — abs(z) , а phi — phase(z) .
Аналогично, вы можете преобразовать комплексное число в полярной форме в прямоугольную форму с помощью rect(r, phi) . Комплексное число, возвращаемое этой функцией, равно r * (math.cos (phi) + math.sin (phi) * 1j) .
Модуль cmath также позволяет использовать регулярные математические функции со сложными числами. Например, вы можете вычислить квадратный корень из комплексного числа, используя sqrt(z) или его косинус, используя cos(z) .
Комплексные числа имеют множество приложений, таких как моделирование электрических цепей, динамика жидкости и анализ сигналов. Если вам нужно работать над любой из этих вещей, модуль cmath не разочарует вас.
Заключение
Все эти функции, о которых мы говорили выше, имеют свои конкретные приложения. Например, вы можете использовать функцию factorial(x) для решения проблем с перестановкой и комбинацией. Вы можете использовать тригонометрические функции для преобразования вектора в декартовы координаты. Вы также можете использовать тригонометрические функции для имитации периодических функций, таких как звуковые и световые волны.
Аналогично, кривая веревки, висящая между двумя полюсами, может быть определена с использованием гиперболической функции. Поскольку все эти функции доступны непосредственно в модуле math, очень легко создавать небольшие программы, которые выполняют все эти задачи.
Надеюсь, вам понравился этот урок. Если у вас есть какие-либо вопросы, дайте мне знать в комментариях.
Разбираем модуль math в Python
Статьи
Введение
Python имеет множество встроенных модулей, которые делают разработку приложений на этом языке более удобной и эффективной. Один из таких модулей – модуль math. В нем содержатся математические функции и константы, которые могут быть полезны во многих приложениях. В статье разберем основные функции модуля более подробно.
Арифметические функции
Арифметические функции используются для различных математических операций, таких как представление чисел в разных формах и выполнение различных вычислений.
Округление чисел. Функции ceil() и floor()
Функция ceil() служит для округления чисел до наименьшего целого числа, а floor() – до наибольшего целого числа:
Пример использования функций ceil() и floor():
Возведение в степень. Функция pow()
Функция pow() позволяет возводить число в степень.
math.pow(x, y) – вернёт число x в степени y.
Пример использования функции pow():
Квадратный корень числа. Функция sqrt()
Функция sqrt() позволяет вычислить квадратный корень из числа.
math.sqrt(x) – вернёт квадратный корень числа x.
Модуль числа. Функция fabs()
Функция fabs() возвращает абсолютное значение числа с плавающей точкой (float). Она работает аналогично встроенной функции abs() для целых чисел, но принимает и возвращает значения с плавающей запятой.
math.fabs(x) – вернёт число x в абсолютном виде с плавающей точкой.
Пример использования функции fabs():
Получение НОД. Функция gcd()
Функция gcd() позволяет найти наибольший общий делитель двух чисел.
math.gcd(x, y) – вернёт наибольший общий делитель чисел x и y.
Пример использования функции gcd():
Вычисление суммы последовательности. Функция fsum()
Функция fsum() позволяет вычислить сумму значений в последовательности с плавающей точкой с повышенной точностью, чтобы избежать ошибок округления, которые могут возникать при использовании стандартной функции sum().
math.fsum(sequence) – вернёт сумму значений в последовательности sequence.
Пример использования функции fsum():
Экспонента. Функция exp()
Функцию exp(), возвращает экспоненту (e в степени x), где x — аргумент функции.
math.exp(x) – вернёт экспоненту числа x.
Пример использования функции exp():
Тригонометрические функции
В модуле math присутствуют тригонометрические функции: sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(), radians(), degrees(). Все они работают только в радианах, поэтому необходимо переводить градусы в радианы.
math.sin(x) – вернёт синус числа x в радианах;
math.cos(x) – вернёт косинус числа x в радианах;
math.tan(x) – вернёт тангенс числа x в радианах;
math.asin(x) – вернёт арксинус числа x в радианах;
math.acos(x) – вернёт арккосинус числа x в радианах;
math.atan(x) – вернёт арктангенс числа x в радианах.
math.radians(x) – вернёт преобразованное в радианы число x.
math.degrees(x) – вернёт преобразованное в радианы число x.
Константы
Модуль math также содержит часто используемые математические константы, такие как Число Пи и Число Эйлера.
math.pi – вернёт число Пи;
math.e – вернёт число Эйлера.
Логарифмы. Функции log() и log10()
Функция log() позволяет вычислить натуральный логарифм числа. Также можно вычислять десятичный логарифм используя функцию log10(). Если нужно найти логарифм по другому основанию, необходимо использовать формулу:
math.log(x) – вернёт логарифм числа x;
math.log10(x) – вернёт десятичный логарифм числа x.
Пример использования функций log() и log10():
Заключение
В итоге, модуль math является очень полезным инструментом для работы с математическими операциями и генерации случайных чисел в Python. Он содержит большое количество функций для различных задач, что позволяет работать с числами более эффективно и быстро.