Ln lg log чем отличаются

автор: admin
29.05.2023

Lg и log разница: Что такое LN и LG?

Войдите , пожалуйста. Хабр Geektimes Тостер Мой круг Фрилансим. Мегапосты: Криминальный квест HR-истории Путешествия гика. Войти Регистрация. Тогда всё внимание было приковано к флагманским устройствам, что, впрочем, не удивительно — мало где можно посмотреть на OLED-панель, показывающую удивительно контрастную картинку и имеющую толщину всего несколько миллиметров, или на огромный дюймовый 4k2k телевизор с потрясающе чёткой и выразительной картинкой.

Поиск данных по Вашему запросу:

Схемы, справочники, даташиты:

Прайс-листы, цены:

Обсуждения, статьи, мануалы:

Дождитесь окончания поиска во всех базах.

Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни.
webOS Forums — форум пользователей телевизоров LG на webOS
Таблица и формула для перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
Классификация
Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, примеры, решения
Collaborative Mind Maps
Логарифм. Примеры
Чем отличается ln , lg, и log ?

ПОСМОТРИТЕ ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Телевизор LG польской сборки год спустя

Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы.

Степени, корни.

В свою маркировку телевизоров фирма LG, как и другие производители, зашифровывают определенную техническую информацию о модели. Из маркировки телеприемника можно узнать размер диагонали экрана, год выпуска, номер серии, наличие и вид тюнера, для какой страны сделана модель. Первые две цифры в обозначении телевизоров LG означают размер диагонали экрана в дюймах. Один дюйм равен 2,54 сантиметра. Увеличение размера диагонали на несколько дюймов может сильно сказаться на цене, поэтому нужно заранее выбрать размер телевизора по тому расстоянию, с которого вы будете смотреть телеприемник.

Наибольшей популярностью у покупателей пользуются телевизоры с размерами диагонали от 32 до 50 дюймов. Различают плазменные экраны, жидкокристаллические с подсветками от лампы или от диодов и, недавно появившиеся, OLED экраны на органических светодиодах.

Вид экрана можно узнать по букве, идущей сразу после первых двух цифр, обозначающих размер экрана. Год изготовления телевизора обозначается следующей буквой, после буквы вида экрана. Каждый год в маркировке применялось две и более буквы, обозначающих наличие определенных функций в конкретном году.

И только с году в маркировке тв LG используется одна буква. Следующие цифры в маркировке обозначают серию и модель в серии. Чем больше цифра на каждой позиции, тем больше функций имеет данная модель и тем лучше технологии применены.

Серия может быть в диапазоне от 4 до 9. Самая продвинутая — это 9 серия. Отличаются серии и набором функций 3D, версия Smart TV, кадровая частота и др.

Каждый год отличительные особенности каждой серии изменяются, что бы знать точно, чем отличаются серии, нужно ознакомиться со спецификациями на конкретный год на сайте LG или на специализированных ресурсах.

Основные отличия, которых может вполне хватить для выбора модели телевизора, приведены в соответствующем разделе здесь. Из года в год определенные компоненты и функциональные возможности дешевеют и переходят в младшие серии.

Что можно узнать из этой маркировки? Разберем по порядку:. Теперь маркировка в разных странах будет одинаковой. Основное изменение коснулось значений букв в конце, если раньше там указывался вид тюнера, то теперь идет буква обозначающая регион продаж, затем уже буква указывающая на тюнер и в конце буква касающаяся дизайна.

Здесь «42LAV» название модели и как её расшифровывать написано выше. А вот обозначение «ZA. Телевизор тот же, что и выше: модель 42LAV. Лучший телевизор на год. Маркировка телевизоров LG В свою маркировку телевизоров фирма LG, как и другие производители, зашифровывают определенную техническую информацию о модели.

Размер экрана Первые две цифры в обозначении телевизоров LG означают размер диагонали экрана в дюймах. Сегодня не выпускаются: С — матрица на жидких кристаллах LCD с подсветкой от люминесцентной лампы уже не выпускаются ; Р — плазменная панель. Модели Samsung Краткий обзор телевизоров Samsung года выпуска, характеристики и цены. Все модели и цены. Телевизоры Panasonic Все модели Panasonic на год.

Краткое описание и цены. Модели Philips Новые модели телеприемников фирмы Philips, кратко о новых возможностях. Маркировка телеприемников Panasonic.

webOS Forums — форум пользователей телевизоров LG на webOS

Одним из востребованных математических действий при решении учебных и практических задач является нахождение логарифма из заданного числа по основанию. В Экселе для выполнения данной задачи существует специальная функция, которая называется LOG. Давайте поподробнее узнаем, как её можно применять на практике. Оператор LOG относится к категории математических функций. Его задачей является вычисление логарифма указанного числа по заданному основанию.

4. разница логарифмов десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x). это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)). По свойству разницы логарифмов имеем.

Таблица и формула для перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

Please enable JavaScript. Coggle requires JavaScript to display documents. Разница между ОДЗ и областью определения. Допустимые и недопустимые значения переменных. Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований? Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится квадратик или кружочек, или нечто подобное , и говорится, что вместо квадратика можно подставить некоторое число.

Классификация

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Достоинства: 1. Подробнее на Яндекс.

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, примеры, решения

Если под руками нет таблиц, калькулятора или другой вычислительной техники, то для вычисления логарифма можно воспользоваться известной формулой разложения логарифма в ряд ряд Тейлора. Если же надо посчитать десятичный логарифм или логарифм с другим основанием, то надо воспользоваться свойством формулой логарифмов. Я где-то читал, что посчитать логарифм можно и без таблицы, но для этого надо пройти очень длинную процедуру предварительных рассуждений. А в них очень легко запутаться. Следует идти более легким путем! Возьмем десятичный логарифм lg.

Collaborative Mind Maps

Раздел недели: Символы и обозначения оборудования на чертежах и схемах Техническая информация тут. Перевод единиц измерения величин Таблицы числовых значений Алфавиты, номиналы, единицы Математический справочник тут Физический справочник Химический справочник Материалы Рабочие среды Оборудование Инженерное ремесло Инженерные системы Технологии и чертежи Личная жизнь инженеров Калькуляторы. Поставщики оборудования. Полезные ссылки. Адрес этой страницы вложенность в справочнике dpva.

lg — логарифм по основанию ln — логарифм по основанию e(натуральный логарифм). Только какое это отношение имеет к с++?. 0.

Логарифм. Примеры

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор Автор24 — это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ. Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Чем отличается ln , lg, и log ?

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Личное мнение : LGUK6410, UK6470, UK6500, UK6510, UK6710, UK6750. Шикарные 4к телевизоры от LG!

Регистрация Выслать повторно письмо для активации Что даёт регистрация на форуме? При создании темы постарайтесь, как можно более точно описать проблему, а не ограничиваться общими понятиями и определениями. Приводимые фрагменты исходного кода старайтесь выделять тегами code Помните, чем подробнее Вы опишете свою проблему, тем быстрее получите вразумительный совет 5. Запрещено поднимать неактуальные темы ПРИМЕР: запрещено отвечать на вопрос из серии «срочно надо», заданный в году 6. Модераторы: shadeofgray , JoeUser.

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение. Вычислить логарифм значит найти такой степень x , при котором выполняется равенство.

Преобразование выражений, содержащих логарифмы , часто проводится с применением свойств логарифмов. В данной статье мы разберем основные принципы преобразования выражений с использованием свойств логарифмов. Начнем с того, что напомним основные свойства логарифмов, перечислив их в виде списка.

lg log в чем разница

Автор admin На чтение 3 мин. Просмотров 321 Опубликовано 15. 12.2019

Ответ
Проверено экспертом
Калькулятор десятичных логарифмов
Свойства десятичного логарифмов
Свойства логарифма
Антилогаритмуване
График логарифма

Ответ

Проверено экспертом

Log — это обозначение любого логарифма
так

логарифм числа 5 по основанию6

а есть два уникальных особенных
— натуральный логарифм по основанию числа е
и десятичный

т.е. lg — это десятичный логарифм, один особенный случай логарифма log

Определение. Логарифмом числа b по основанию a , где a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтоб получить число b .

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10 x = b .

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x .

Калькулятор десятичных логарифмов

Свойства десятичного логарифмов

lg x = log₁₀ x — так как основание десятичного логарифма равно 10.

lg( x · y ) = lg x + lg y

lg x y = lg x — lg y

(lg x )′ = 1 x ln 10

∫	lg x dx = x lg x — x ln 10 + C

lim	lg x = -∞
x → +0

lg 100 = lg 10 2 = 2

lg 1000 = lg 10 3 = 3

lg 0.1 = lg 10 -1 = -1

lg 0.01 = lg 10 -2 = -2

lg 0.001 = lg 10 -3 = -3

Доказать равенство: a lg b = b lg a .

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10 lg b · lg a = 10 lg a · lg b

(10 lg b ) lg a = (10 lg a ) lg b

Зная, что lg 2 = a , lg 3 = b , lg 5 = c , выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b ;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c ;

lg 16 = lg 2 4 = 4 · lg 2 = 4 a .

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25

Используем свойство логарифма степени lg x n = n lg x :

lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25 = lg 5 lg 3 2 · lg 3 3 lg 5 2 = lg 5 2 lg 3 · 3 lg 3 2 lg 5 = 3 4

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a , lg 3 = b .

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8 lg 30 = lg 2 3 lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 10 5 :

= 3 lg 2 lg 3 + lg 10 = 3 lg 2 lg 3 + 1 = 3 lg 10 5 lg 3 + 1 = 3(lg 10 — lg 5) lg 3 + 1 = 3(1 — lg 5) lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a , lg 3 = b :

log₃₀ 8 = 3(1 — a ) b + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если b = a c c = log_ab, a,b,c принадлежат к действительным числам, b > 0, a > 0, a ≠ 1
a основа логарифма
Например: 2 3 = 8 => log₂8 = 3

Стандартное обозначение логарифма с базой 10(десятичного логарифма) и e . n = n cdot log_ab$ показать пример

$log_bc = frac$ показать пример

$log_b = fraclog_ab, n
e0$

log _a(b &pm; c) — формула не существует

Антилогаритмуване

log_ab = log_ac ⇔ b = c
log_ab = c ⇔ a c = b, который b > 0, a > 0 и a ≠ 1

log_ab > log_ac ⇔ если a > 1, то b > c,
если 0 2 =

График логарифма

Отсюда видно, что когда x = 1 , log = 0 ; где x -> 0 => log -> -∞ ; когда x -> ∞ log -> ∞

спросил 5 лет, 1 месяц назад

Изменено 5 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 91 раз

Я знаю, что итеративный логарифм может дать только 1 из 6 чисел. *n$? 92=2$

2)$\log_ <10>200=\log_ <10>100 + \log_ <10>2=2+\log2$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Когда логарифм записывается без основания, относится ли уравнение обычно к логарифму с основанием 10 или к натуральному логарифму?

спросил 9 лет, 9 месяцев назад

Изменено 10 месяцев назад

Просмотрено 79 тысяч раз 9<2>>,$$

, но я не совсем уверен, относится ли это к основанию журнала $10$ или к натуральному логарифму.

обозначения
логарифмы

В математике $\log n$ чаще всего принимается за натуральный логарифм. Обозначение $\ln(x)$ не часто встречается в исчислении многих переменных, поскольку основание логарифма $10$ находит относительно малое применение.

На этой странице Википедии приводится классификация того, где используется каждое определение, то есть основание $2$, $e$ и $10$:

$\log (x)$ относится к $\log_2 (x)$ в информатике и теории информации.

$\log(x)$ относится к $\log_e(x)$ или натуральному логарифму в математическом анализе, физике, химии, статистике, экономике и некоторых областях техники.

$\log(x)$ относится к $\log_<10>(x)$ в различных инженерных областях, таблицах логарифмов и портативных калькуляторах.

В зависимости от предмета это может быть базовая сумма $10$, базовая сумма $e$ или базовая сумма $2$. База $2$ распространена в информатике. База $10$ популярна в технике (думаю, децибелы). Я бы принял это за базу $e$

В некоторых случаях «$\log$» может относиться к логарифму с неопределенным основанием .

Предположим, мы логарифмируем (по основанию $b$, где $b>0$ — константа) некоторой переменной. Напомним тождество

Логарифм по основанию $b$ может быть выражен как постоянный множитель, умноженный на логарифм к любому другому основанию $c>0$. В некоторых областях, в частности асимптотическом анализе , нам не нужны постоянные множители — это означает, что не имеет значения какую базу мы выберем. Таким образом, мы можем однозначно написать $Θ(\log(n))$ без указания базы.

(Это относится к , а не к конкретному использованию в вопросе, который касается верхней границы для всех $n$. Очевидно, что здесь имеют значение постоянные факторы.)

Если вы имеете опыт работы в области информатики, тогда:

log(x) = log$_<10>$(x)
ln(x) = log$_$(x)
lg(x) = log$_<2>$(x)

Если ученый-компьютерщик использует log(x) с основанием, отличным от 10, то он/она обычно ясно указывает на это.

Во многих языках программирования log представляет собой натуральный логарифм . Часто встречаются варианты для log2 и log10 .

Проверено на C, C++, Java, JavaScript, R, Python

Как правило, запись логарифмов без основания является плохой практикой, особенно если контекст не был достаточно настроен. Если подразумевается основание, то лучше использовать один из вариантов, например $ln()$ для основания $e$, $lg()$ для основания $2$ и т. д.

Но есть литература там, что нарушает вышеуказанное правило, так что да, вам нужно вывести базу из контекста.

При этом бывают случаи, когда отсутствие основания является преднамеренным и приемлемым, что подразумевает, что оно применимо независимо от того, что является базой .

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

что такое логарифм

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ($log_<2>(32)$) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию положительно числа $a$ называется степень $c$, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить $b$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм $log_<4>(6)$. Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_<4>(4) \lt log_<4>(6) \lt log_<4>(16);$$ $$ 1 \lt log_<4>(6) \lt 2. $$

Значит $log_<4>(6)$ принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть $0$. А основание не равно $1$, потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь $1$ в любой степени это будет $1$.

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень $x$ нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
$x$ и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм $9$ по основанию $3$: $log_<3>(9)$

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень $x$ нужно возвести $3^1$, чтобы получить $3^2$ $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^<1*x>=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
Вот мы и решили: $$log_<3>(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм $\frac<1><125>$ по основанию $5$: $log_<5>(\frac<1><125>)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac<1><125>=\frac<1><5^3>=5^<-3>;$$
В какую степень $x$ надо возвести $5^1$, чтобы получить $5^<-3>$: $$ (5^1)^x=5^<-3>, $$ $$ 5^<1*x>=5^<-3>,$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
Получили ответ: $$ log_<5>(\frac<1><125>)=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм $4$ по основанию $64$: $log_<64>(4)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^6$, чтобы получить $2^<2>$: $$ (2^6)^x=2^<2>, $$ $$ 2^<6*x>=2^<2>,$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac<2><6>=\frac<1><3>.$$
Получили ответ: $$ log_<64>(4)=\frac<1><3>.$$

Пример 4. Вычислить логарифм $1$ по основанию $8$: $log_<8>(1)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^3$, чтобы получить $2^<0>$: $$ (2^3)^x=2^<0>, $$ $$ 2^<3*x>=2^<0>,$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac<0><3>=0.$$
Получили ответ: $$ log_<8>(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм $15$ по основанию $5$: $log_<5>(15)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= . ;$$ $15$ в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_<5>(15).$$

Как понять, что некоторое число $a$ не будет являться степенью другого числа $b$. Это довольно просто – нужно разложить $a$ на простые множители.

$16$ разложили, как произведение четырех двоек, значит $16$ будет степенью двойки.

Разложив $48$ на простые множители, видно, что у нас есть два множителя $2$ и $3$, значит $48$ не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — $lg(a)$.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Обозначение — $ln(x)$. Что такое $e$? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, $2,718281828459…$. Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием $e$ часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой $3$. Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой $4$. Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Логарифм. Как вычислить логарифм?

Объясним проще. Например, $\log_<2><8>$ равен степени, в которую надо возвести $2$, чтоб получить $8$. Отсюда понятно, что $\log_<2><8>=3$.

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент и основание логарифма.png

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести $4$, чтобы получить $16$? Очевидно во вторую. Поэтому:

б) В какую степень надо возвести $3$, чтобы получить $\frac<1><3>$ ? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени ).

в) В какую степень надо возвести $\sqrt<5>$, чтобы получить $1$? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести $\sqrt<7>$, чтобы получить $\sqrt<7>$? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

д) В какую степень надо возвести $3$, чтобы получить $\sqrt<3>$? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень $\frac<1><2>$ .

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм $\log_<4\sqrt<2>><8>$

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
$\log_=b$ $\Leftrightarrow$ $a^=c$

Что связывает $4\sqrt<2>$ и $8$? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
$4=2^<2>$ $\sqrt<2>=2^<\frac<1><2>>$ $8=2^<3>$

Слева воспользуемся свойствами степени: $a^\cdot a^=a^$ и $(a^)^=a^$

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на $\frac<2><5>$

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: $3^=9$. Просто подберите $x$, чтобы равенство сработало. Конечно, $x=2$.

А теперь решите уравнение: $3^=8$.Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как $x=\log_<3><8>$.

Хочу подчеркнуть, что $\log_<3><8>$, как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: $1,892789260714. $

Пример: Решите уравнение $4^<5x-4>=10$

$4^<5x-4>$ и $10$ никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
$a^=c$ $\Leftrightarrow$ $\log_=b$

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы $(a>0, a\neq1)$. И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера $e$ (равное примерно $2,7182818…$), и записывается такой логарифм как $\ln$.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается $\lg$.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

$a^<\log_>=c$

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения $36^<\log_<6><5>>$

Зная формулу $(a^)^=a^$, а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что $\log_<2><4>$ равен двум. Тогда можно вместо двойки писать $\log_<2><4>$.

Но $\log_<3><9>$ тоже равен $2$, значит, также можно записать $2=\log_<3><9>$ . Аналогично и с $\log_<5><25>$, и с $\log_<9><81>$, и т.д. То есть, получается

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как $\log_<2><8>$, или как $\log_<3><27>$, или как $\log_<4><64>$… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Логарифм

Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число» [1] ) определяется [2] как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: $\log_a b\,$ , произносится: «логарифм по основанию «.

Из определения следует, что нахождение $</p> <p>x=\log_a b» width=»» height=»» /> равносильно решению уравнения <img decoding=$ потому что

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений [3] . При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь» [4] .

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция $</p> <p>y=\log_a x» width=»» height=»» /> незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основанием <i><img decoding=$ (натуральный логарифм), (десятичный) и (двоичный).

Содержание

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа $</p> <p>x=\log_a b» width=»» height=»» /> по определению есть решение уравнения <img decoding=$ ; кроме того, значение показательной функции всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем [5] :

Вещественный логарифм $</p> <p>\log_a b» width=»» height=»» /> имеет смысл при <img decoding=$

y=a^x» width=»» height=»» /> (при выполнении указанных условий для ) существует, монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа [6] . Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

: $\ln\,b$ , основание: число Эйлера : $\lg\,b$ , основание: число : $\log_2\,b$ или $\operatorname<lb>\,b» width=»» height=»» />, основание: <img decoding=$ Они применяются, например, в теории информации, информатике, во многих разделах дискретной математики.

Свойства

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество [7] :

$a^<\log_a b>= b» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-11' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если $</p> <p>\log_a b=\log_a c» width=»» height=»» />, то <img decoding=$

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны [8] :

Формула Пример

Произведение $\log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \,$ $\log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,$

Частное от деления $\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \,$ $\lg \left(\frac<1><1000>\right) = \lg (1) — \lg (1000) = 0 — 3 = -3″ width=»» height=»» /></td> </tr> <tr> <td>Степень</td> <td> <img decoding=$ $\log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,$

Корень $\log_a \sqrt[p]<x>= \frac <\log_a (x)>p \, » width=»» height=»» /></td> <td> <img decoding=$ $\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

$\log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц [⇨] производилось по следующему алгоритму:

Найти в таблицах логарифмы чисел .

Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения $x \cdot y$ .

По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Замена основания логарифма

Логарифм $\log_a b\,$ по основанию можно преобразовать в логарифм по другому основанию [5] :

$\log_a b = \frac<\log_c b ><\log_c a>» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

$\log_a b = \frac <1><\log_b a>» width=»» height=»» /></p> <h5>Другие тождества и свойства</h5> <p>Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:</p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$<\log_<a^q><b>>^p = \frac</p> <p><q>\log_a<b>.» width=»» height=»» /></p> <p>Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание <img decoding=$ на по вышеприведенной формуле перехода. Следствия:

$\log_<a^k>b = \frac <1> <k>\log_a b; \quad \log_<\sqrt[n]> b = n \log_a b; \quad \log_ <a^k>b^k = \log_a b» width=»» height=»» /></p> <p>Ещё одно полезное тождество:</p> <p><img decoding=$ совпадают (равны $</p> <p>\log_a b \cdot \log_a c» width=»» height=»» />), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны.</p> <h4>Логарифмическая функция</h4> <p><img decoding=$

Основные характеристики

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию $y=\log_a x$ . Она определена при $</p> <p>a>0;\ a \ne 1; x>0″ width=»» height=»» />. Область значений: <img decoding=$ . Эта кривая часто называется логарифмикой [9] . Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции (см. далее графики) и строго убывающей при

0 < a < 1″ width=»» height=»» />. График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

$\lim_<x \to 0+0>\log_a x = — \infty» width=»» height=»» /> при <img decoding=$ $\lim_<x \to 0+0>\log_a x = + \infty» width=»» height=»» /> при <img decoding=$ .

Производная логарифмической функции равна:

$\frac <d> <dx>\log_a x = \frac <1><x \cdot \ln a>» width=»» height=»» /></p> <p>С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения [10] :</p> <p> <img decoding=$

Натуральный логарифм

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:

$\frac <d> <dx>\ln x = \frac <1><x>» width=»» height=»» /></p> <p>По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.</p> <p><img decoding=$

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от до , мы получаем:

$\ln b = \int\limits_1^b <\frac <dx><x>>» width=»» height=»» /></p> <p>Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой <img decoding=$

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции :

$\frac<d> <dx>\ln(f(x)) = \frac <f$

Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:

$\ln(1+x) = x - \frac<x^2> <2>+ \frac<x^3> <3>— \frac<x^4> <4>+ \dots» width=»» height=»» /></td> <td style=$ (Ряд 1)

$-1 < x \leqslant 1$

Это ряд сходится при . В частности:

$\ln 2 = 1 - \frac<1> <2>+ \frac<1> <3>— \frac<1> <4>+ \dots» width=»» height=»» /></td> </tr> </table> <p>Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:</p> <table width=$
$\ln \left(\frac<1+x><1-x>\right)=2\left(x+\frac<x^3><3>+\frac<x^5><5>+\frac<x^7><7>+\dots\right)» width=»» height=»» /></td> <td style=$ (Ряд 2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы [11] .

Десятичный логарифм

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: $\lg x$ ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить.

Если , то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что $\lg 345$ находится в промежутке разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на . Например, $\lg 8314<,>63 = \lg 8<,>31463 + 3″ width=»» height=»» />. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от <img decoding=$ до , причём привести в таблице только мантиссы (дробную часть) логарифмов.

Связь с натуральным логарифмом [12] :

$\ln x \approx 2<,>30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0<,>43429\ \ln x» width=»» height=»» /></p> <p>Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным [13] . Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.</p> <h5>Предельные соотношения</h5> <p>Приведём несколько полезных пределов, содержащих логарифмы [14] .</p> <p> <img decoding=$ — алгебраические числа ( $a \ne 1$ ), то $\log_a b$ либо рационален, либо трансцендентен. При этом логарифм рационален и равен $p \over q$ только в том случае [15] , когда числа связаны соотношением

\ln n + C» width=»» height=»» />, где уравнения (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, $</p> <p>e^<\pi i>=-1″ width=»» height=»» />; однако также <img decoding=$

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

$z=r \cdot e^<i \varphi>» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Тогда $\mathrm<Ln>\,z» width=»» height=»» /> находится по формуле [17] :</p> <p><img decoding=$ — вещественный логарифм, — произвольное целое число. Отсюда вытекает:

Комплексный логарифм $\mathrm<Ln>\, z» width=»» height=»» /> существует для любого <img decoding=$ , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное $2\pi.$

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале $</p> <p>(-\pi, \pi]» width=»» height=»» />. Это значение называется <b>главным значением</b> комплексного натурального логарифма [9] . Соответствующая (уже однозначная) функция называется <i>главной ветвью</i> логарифма и обозначается <img decoding=$ . Иногда через $\ln\, z$ также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

$\operatorname<Re>(\ln(x+iy)) = \frac<1> <2>\ln(x^2+y^2)» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к

Логарифм отрицательного числа находится по формуле [17] :

$\mathrm<Ln>(-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) » width=»» height=»» /></p> <h4>Примеры значений комплексного логарифма</h4> <p>Приведём главное значение логарифма (<img decoding=$ ) и общее его выражение ( $\mathrm<Ln>» width=»» height=»» />) для некоторых аргументов:</p> <p> <img decoding=$

— явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (). Причина ошибки — неосторожное использование свойства $\log_a<(b^p)>= p</p> <p>\log_a b» width=»» height=»» />, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.</p> <h4>Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность</h4> <p><img decoding=$

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью [18] . Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при . Особые точки: и $z=\infty$ (точки разветвления бесконечного порядка) [19] .

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей [20] для комплексной плоскости без точки .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая $\Gamma$ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой $\Gamma$ можно определить по формуле [19] :

$\ln z = \int\limits_\Gamma <du \over u>» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$

Если — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

$\ln (wz) = \ln w + \ln z,</p> <p>\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma» width=»» height=»» /></p> <p>Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на <img decoding=$ . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом

(-\pi, \pi]» width=»» height=»» />. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции [19] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма [16] :

$\frac<d> <dz>\ln z = <1\over z>» width=»» height=»» /></p> <p>Для любой окружности <img decoding=$ , охватывающей точку :

$\oint\limits_S <dz \over z>= 2\pi i» width=»» height=»» /></p> <p>Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.</p> <p>Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: ряда 1 или ряда 2, — обобщённых на случай комплексного аргумента. Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.</p> <h4>Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями</h4> <p>Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями [21] :</p> <p> <img decoding=$

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году [29] . Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты [30] ; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом [31] :

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением [32] :

$\frac<dx> <x>= — \frac<dy><M>» width=»» height=»» />,</p> <p>где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.</p> <p>Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию <img decoding=$

\log_a b» width=»» height=»» />. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века [41] .

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером [33] . В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма [42] . Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Расширение логарифма на комплексную область

$\log(-x) = \log(x)$

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма [43] . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число [43] . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной [44] . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции [45] , определяемой как интеграл от $\frac<1><z>» width=»» height=»» />. Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.</p> <p>Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм [46] .</p> <h3>Некоторые практические применения</h3> <h4>Логарифмические зависимости в науке и природе</h4> <p>Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие, то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. ниже такие примеры, как рекурсивные алгоритмы, фракталы или раковины моллюсков. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках.</p> <h5>Теория чисел</h5> <p>Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам [47] :</p> <ol> <li>Число простых чисел в интервале от 1 до <img decoding=$ приблизительно равно $\frac<n><\ln n>» width=»» height=»» />.</li> <li><i>k</i>-е простое число приблизительно равно <img decoding=$ .
Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.

Математический анализ

Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

$\int <\operatorname<tg>x> \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int <\frac<dx><\sqrt<x^2+a>>> = -\ln |x+\sqrt<x^2+a>| + C» width=»» height=»» /></p> <h5>Теория вероятностей и статистика</h5> <p><img decoding=$

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение [48] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных [49] .

Закон Бенфорда («закон первой цифры») описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин.

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия [50] .

Информатика и вычислительная математика

В информатике: единица измерения информации (бит). Например, для хранения в компьютере натурального числа (в обычном для компьютера двоичном формате) понадобится $\log_2 N + 1$ битов.

Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате (англ.) русск. . В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля, и быстродействие процессора благодаря свойствам логарифма значительно повышается [52] . Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность [53] [54] .

Фракталы и размерность

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала [55] . Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением треугольников, размер которых на каждом этапе уменьшается втрое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

$\frac <\ln 3> <\ln 2>\approx 1<,>58″ width=»» height=»» /></p> <h5>Механика и физика</h5> <p>Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.</p> <h5>Химия и физическая химия</h5> <p>Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.</p> <h5>Теория музыки</h5> <p>Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для <img decoding=$ Что означает cd на стиральной машине lg после сушки
Что такое смарт инвертор в холодильнике lg

Как iphone подключить к телевизору lg

Как включить вай фай на стиральной машине lg

Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Имя *

Email *

Сайт

Комментарий *
Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.

Neve | Работает на WordPress

Neve | Работает на WordPress