Трехмерные графики функций в MathСad
Графики, которые включают две переменные, в Mathcad схожи с 2D-графиками, но есть отличия, которые необходимо знать. В Mathcad существует два вида таких графиков: контурный и 3D-график поверхности в трех осях.
Контурный график
Контурный график показывает изменения поверхности по высоте. Он являет собой линии равных высот. Для интеграции контурного графика нужно выбрать в Графики -> Кривые -> Вставить график -> Контурный график.
Давайте пропишем построение графика параболоида:
Такая функция имеет минимум в начале осей координат и возрастает при отходе от начала осей. Цвет нашего графика будет зависим от величины z.
По стандарту в наших уроках используем диапазоны от -10 до 10 для x и у. Для оси z подбор диапазона будет автоматизирован. Изменение диапазонов возможно с изменением величины первой и последней меток, а изменение расстояния — изменением величины второй метки. Также можно выбирать одну из представленных в программе цветовых схем оформления или добавлять величины к контурным линиям.
3D-график
Давайте вначале выясним, какие есть элементы у 3D-графика.
График имеет три оси: X, Y, Z. Обычно ось зет имеет вертикальное направление. Сам график, который изображен розовой сеткой на примере выше, ограничен прямоугольной областью, сторонами которой являются оси координат. Если в 2D-графиках были места для заполнения как для оси X, так и для оси Y, то здесь есть только одно место заполнения для оси Z.
Если вы посмотрите на правый верхний угол, то увидите кнопку выбора осей. При нажатии на нужную ось, она подсветится как на кнопке, так и на графике. Вы можете менять для каждой оси значение первой, второй и последней метки. Все это справедливо настолько же, насколько и для 2D-графика. Кроме того, можно изменять диапазоны как по осям, так и по числу меток.
Вам будет доступно расширение, перемещение и сжатие области, где размещен график. Для этого существуют специальные кнопки, которые размещены на границе области. Кнопки слева сверху предназначены для перемещения, вращения или масштабирования графика. А также есть кнопка «Сбросить график», которая оп своим функциям напоминает кнопку «Отменить».
Параболоид
Попробуем построить график заданного параболоида. Разместите курсор на любое место рабочей области и нажмите Графики -> Кривые -> Вставить график -> 3D-график. В местозаполнитель введите [z(x,y] и нажмите на любое пустое место. Построится вот такой график:
Поэкспериментируйте с кнопками управления видом графика, а когда получите достаточно опыта, нажмите на кнопку «Сброс вида».
Нажмите на ось Z справа сверху на кнопке выбора оси. Поменяйте обозначение последней метки с 200 на 400, а потом нажмите на любое пустое место вне графика, чтобы изменения применились. Если вам нужно будет вернуться в исходную позицию, то придется заново вручную поменять значение на 200, так как кнопка вида здесь работать не будет.
На следующей картинке вы видите тот же график, но с изменением цвета и заливки поверхности. Это можно сделать, воспользовавшись меню Графики -> Стили:
Две функции
Для добавления еще одной функции на график, нужно выбрать местозаполнитель с легендой и в меню перейти Графики -> Кривые -> Добавить кривую. На примере вы можете видеть функции параболоида и плоскости на одном координатной сетке.
Для графиков лучше использовать отличные друг от друга цвета, чтобы их пересечение было более заметно. Вы можете повращать график, чтобы разобраться в форме этого пересечения.
Использование вектора
Мы производили построение 2D-графиков с использованием вектора. Что-то подобное можно использовать и для 3D-графиков, но нам потребуется вектор с осями X, Y, Z. Изобразим примером функцию, которая известна среди математиков под названием «мексиканская шляпа».
Сфера
Построение параметрической поверхности требует более серьезного подхода, чем 2D-графика. Все из-за того, что значение Z можно добавлять только непосредственно на графике. Расскажем, как это выполнить, используя пример построения графика сферы с помощью функции CreateMesh. Параметрические уравнения сферы выглядят так:
У параметра φ есть название — азимутальный угол. Параметр θ называется зенитным углом. Пропишем нужные нам диапазоны изменения параметров:
При использовании функции CreateMesh нам понадобится такая матрица:
Пропишите имя переменной матрицы в метозаполнитель 3D-графика и нажмите на любую пустую область вне его.
Резюме
3D-графики имеют некоторые отличия от двухмерных графиков, которые мы уже рассматривали:
3D построения в Mathcad
MathCad – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.
В системе MathCAD для вывода и интерпретации результатов расчета используется двухмерная (2D) и трехмерная (3D) графика.
Двухмерная графика подразумевает графическое представление в декартовой (График Х-У) и полярной (Полярный график) системе координат.
3D графика используется для построения трехмерных поверхностей (Surface Plot), контурных графиков (Contour Plot), 3D гистограмм (3D Bar Chart) и других трехмерных объектов.
Существует три способа построения графиков в системе MathCAD:
позиция Главного меню Вставка(Insert), выбрать команду График (Graph) и в раскрывающемся списке — тип графика;
- выбрать тип графика на наборной панели График(Graph), которая включается кнопкой на панели Math;
- воспользоваться быстрыми клавишами
(они предусмотрены не для всех типов графиков).
График Поверхность или нажать соответствующую кнопку наборной панели График (сочетание клавиш [Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности. Для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения необходимо сначала задать узловые точки xi и yj, в которых будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого надо определить функцию f(x,y), график которой хотите построить. После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в виде: Ai,j=f(xi,yj). Теперь после выполнения команды Insert — Graph — Surface Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя матрицы (без индексов). » width=»640″
Построение графика функции z=f(x,y) в виде поверхности в декартовой системе координат.
Для построения графика поверхности можно воспользоваться двумя способами: явным и неявным. Если вам надо только посмотреть общий вид поверхности, то MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных графиков. Для этого достаточно определить функцию f(x,y) и выполнить команду Вставка График Поверхность или нажать соответствующую кнопку наборной панели График (сочетание клавиш [Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности.
Для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения необходимо сначала задать узловые точки xi и yj, в которых будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого надо определить функцию f(x,y), график которой хотите построить. После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в виде: Ai,j=f(xi,yj). Теперь после выполнения команды Insert — Graph — Surface Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя матрицы (без индексов).
Пример 1. Построить график функции
Пример 2. Построить график функции
Пример 4. Постройте график параметрически заданной поверхности.
Graph — 3D Plot или выполнив двойной щелчок мышкой на графической области. В результате на экране появится диалоговое окно 3-D Plot Format, позволяющее изменять параметры отображения графика. Разобраться во всех тонкостях управлением видом графика вы можете самостоятельно, построив график и поэкспериментировав, выбирая те или иные опции. » width=»640″
Форматирование трехмерных графиков
Если вас не устраивает внешний вид созданного трехмерного графика, вы можете изменитьего, выполнив команду Format — Graph — 3D Plot или выполнив двойной щелчок мышкой на графической области. В результате на экране появится диалоговое окно 3-D Plot Format, позволяющее изменять параметры отображения графика. Разобраться во всех тонкостях управлением видом графика вы можете самостоятельно, построив график и поэкспериментировав, выбирая те или иные опции.
-80%
Методические материалы «Графика в Mathcad»
В современном мире применение средств информационных технологий, в том числе и в образовании приобретает все большую актуальность. Ведь и спользование компьютера в учебных целях вносит значительные изменения в деятельность самого учащегося, особенно при изучении таких дисциплин как математика, информатика и физика. Так же учащийся освобождается не только от необходимости выполнения рутинных операций, но и имеет возможность, не обращаясь к педагогу, получить требуемую информацию; избавляется от страха допустить ошибку; получает возможность приобщения к исследовательской работе. А поскольку эта мотивация достаточно актуальна сегодня, то я бы хотела в качестве программного обеспечения, которое можно применить в учебном процессе, рассмотреть среду Mathcad . Но данная работа раскрывает не все возможности и функции среды Mathcad , а только один из ее разделов – Графика в Mathcad .
Не секрет, что представление данных именно в графической форме обладает свойствами наглядности и доступности. Ведь не случайно в книгах, рефератах и многих других работах используются разнообразные типы графиков. Да и если рассматривать необходимость применения графики в учебном процессе, то очевидно, что детей естественно заинтересуют красивые графические иллюстрации, сопровождающие рассказ учителя. Также применение графических возможностей Mathcad непременно будет способствовать развитию интереса к предмету.
Таким образом, объектом исследования является СКМ Mathcad в учебном процессе.
Предмет исследования: графические возможности Mathcad .
Цель работы: описать графические возможности СКМ Mathcad , привести примеры, реализующие эти возможности.
Основными задачами данной работы являются:
— описать основные графические возможности в Mathcad ;
— рассмотреть принципы построения разнообразных графиков: двухмерных, трехмерных, диаграмм и т.д.;
— овладение основными знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения данных принципов в практической деятельности.
При решении различных математических задач очень интересно работать именно с графиками. А для реализации данного способа решения можно воспользоваться графическими возможностями Mathcad . Данная программа предоставляет весьма универсальные графики, а самое главное, очень легкие в использовании. Например, графики в декартовой и полярной системе координат, различные поверхности, точечные графики и т.д. [2,4].
В основном при построении графиков в Mathcad очень удобно использовать уже имеющиеся шаблоны, перечень которых находится в позиции Вставка ( Insert ) подменю График ( Graph ). Но, помимо главного меню, существуют кнопки быстрого управления, которые значительно ускоряют поиск необходимого шаблона (рис. 1.1) [2, 4].
Рис. 1.1. Панель График
В открывшемся подменю График мы видим следующий перечень шаблонов (табл. 1) [2, 4] :
Перечень шаблонов графиков в Mathcad
X-Y график (X-Y Plot)
Шаблон в декартовой системе координат
Полярный график (Polar Plot)
Шаблон в полярной системе координат
График поверхности (Surfa c e Plot)
Шаблон для построения трехмерного графика
Контурный график (Contour Plot)
Шаблон для контурного графика трехмерной поверхности
График 3D Разброса (3D Scatter Plot)
Шаблон для графика в виде точек (фигур) в трехмерном пространстве
График 3D Полос (3D Bar Plot )
Шаблон для изображения в виде совокупности столбиков в трехмерном пространстве
Векторный График (Vector Field Plot)
Шаблон для графика векторного поля на плоскости
После задания необходимого нам графика, мы можем осуществлять с ним различные действия. Например, цепляясь курсором мыши за маркеры выделенных нами графиков, можем растягивать его как по вертикали, так и по горизонтали; может перетаскивать его в любое место на рабочей области и т.д. Но более подробно все эти возможности будут рассмотрены в следующих разделах курсовой работы [2, 4].
Для построения данного графика воспользуемся ранее рассмотренным перечнем шаблонов, из которого выбираем X-Y график, но перед этим, выше шаблона, необходимо написать формулу, описывающую нашу функцию. Таким образом, на рабочем поле появится следующий шаблон (рис. 2.1.1.) [2, 4] :
Рис. 2.1.1. Шаблон двухмерного графика в декартовой системе координат
Затем мы заполняем с клавиатуры две позиции, предназначенные для ввода значения аргумента x и ввода значения самой функции F ( x ). После этого щелкаем мышью на рабочее поле вне графика и получаем необходимый график (рис . 2.1.2.) [2, 4] .
Рис. 2.1.2. График F ( x )= x 2 в декартовой системе координат
Также следует отметить, что существует еще один способ задания двухмерного графика в декартовой системе координат. В принципе алгоритм построения не меняется, но в начале работы мы вводим, так называемую, ранжированную переменную, для которой заранее указываем шаг и диапазон возможных изменений (рис. 2.1.3.) [3, 4] .
Рис. 2.1.3. График F ( x )=( x +1)* ln 2 ( x +1) в декартовой системе координат
Этот способ очень удобен, когда необходимо определить значение функции на некотором интервале в конкретной точке. Но по умолчанию система строит непрерывный график, не смотря на то, что функция задана дискретно. При построении данного графика, шаг был задан 0.1. Если значение этого параметра не было задано самостоятельно, то шаг автоматически, т.е. по умолчанию, будет равен 1 [2, 3].
Как видим, полученные графики представлены не в очень привычной для нас форме. Следует заметить, что подобное оформление задается также автоматически. А для того, чтобы привести график к наиболее стандартному виду рассмотрим следующий пункт курсовой работы [2, 3].
Для того чтобы открыть окно форматов графиков необходимо выбрать команду меню Формат ( Format ), а затем График ( Graph ) и X — Y график. Либо просто, в области графика, дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Таким образом, на экране появится следующее окно (рис. 2.2.1.) [2, 3]:
Рис. 2.2.1. Окно форматирования двухмерных графиков
В открывшемся окне мы видим 4 вкладки, с помощью которых и будем менять необходимые параметры графиков.
Первая вкладка – Оси X — Y – позволяет устанавливать параметры для осей графиков (рис. 2.2.1.). А именно:
1) Логарифмический масштаб ( Log Scale ) – можно установить логарифмический масштаб.
2) Линия сетки ( Grid Lines ) – можно установить линии масштабной сетки. Причем, масштабная сетка графика не строится, если с параметра Л иния сетки ( Grid Lines ) снят флажок, хотя небольшие деления на осях все же размещаются.
3) Нумерация ( Numbered ) – можно установить и редактировать числовые данные по осям. Например, значения ординат и абсцисс, при автоматическом выборе масштаба, могут оказаться не целыми. В этом случае с помощью данного параметра мы можем округлить верхний и нижний пределы изменений значений ординат и абсцисс.
4) Автомасштаб ( Autoscale ) – можно установить автоматическое масштабирование;
5) Показать маркеры ( Show Markers ) — установка рисок по осям;
6) Автосетка ( Auto Grid ) – автоматическая установка числа масштабных линий [2, 3, 4].
Все вышеперечисленные параметры можно задавать отдельно как для оси X , так и для оси Y . Также в этой вкладке можно изменять стили осей графика: можно задать оси в виде обрамляющего прямоугольника, в виде креста или же вовсе их не выводить. А сделать масштаб по осям одинаковым можно, если поставить флажок около опции Одинаковые [2, 3, 4].
Вторая вкладка – Следы ( Traces ) (рис. 2.2.2).
Рис. 2.2.2. Вкладка Следы ( Traces )
Работа с этой вкладкой позволяет установить следующие параметры, теперь уже, линий графиков:
1) Метка ( Legend Label ) – т.е. для каждой кривой можно указать название в легенде графика. По умолчанию будет trace 1, trace 2 и т.д.
2) Символ ( Symbol Label ) – т.е. символы точек на графике. В раскрывающемся списке можно увидеть несколько видов символов:
ü none (ничего) — без отметки;
ü x’s — наклонный крестик;
ü +’х — прямой крестик;
ü box (квадрат) — квадрат;
ü dmnd (ромб) — ромб;
ü o’s – окружность.
3) Линия ( Line ) – т.е. для каждой кривой можно выбрать свой тип линии. А именно:
ü solid (сплошная) — непрерывная линия;
ü dot (точка) – точечная линия;
ü dash (пунктир) — пунктирная линия;
ü dadot (штрих-пунктир) – штрихпунктирная линия.
4) Цвет линии ( Color ) – т.е. для каждой кривой можно еще выбрать и свой цвет линии. В списке присутствуют следующие основные цвета:
ü mag – сиреневый ;
ü brn – коричневый;
5) Тип линии ( Type ) – т.е. можно выбирать различные типы линий графиков из предложенных восьми типов:
ü lines (линия) — построение линиями;
ü points (точки) — построение точками;
ü error (интервалы) — построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей;
ü bar (столбец) — построение в виде столбцов гистограммы, но столбцы являются не закрашенными;
ü step (ступенька) — построение ступенчатой линией;
ü draw (протяжка) — построение протяжкой от точки до точки;
ü stem (основа) — построение вертикальными черточками;
ü solidbar (столбец) – также построение в виде столбцов гистограммы, только теперь столбцы будут закрашены оттенком выбранного цвета [2, 3, 4].
Так же, на этой вкладке можно либо скрыть «Легенду графика», либо скрыть аргументы у осей, поставив флажок около необходимой опции [2, 3].
Третья вкладка называется Метки ( Labels ) (рис. 2.2.3.). Она позволяет создавать как подписи у осей графика, так и заголовки самого графика [3].
Рис. 2.2.3. Вкладка Метки ( Labels )
С помощью четвертой вкладки Умолчания ( Defaults ) (рис. 2.2.4.) можно вернуться к настройкам по умолчанию [3] .
Рис. 2.2.4. Вкладка Умолчания ( Defaults )
Таким образом, редактируя вышеизложенные параметры графика, заданные по умолчанию, пользователь может свободно экспериментировать в процессе форматирования графиков (рис. 2.2.5.) [1, 3] .
Рис. 2.2.5. Пример форматирования двухмерного графика
Иногда при решении тех или иных задач для большей наглядности необходимо изобразить сразу несколько графиков в одной системе координат. Справиться с этой проблем можно также с помощью графических возможностей Mathcad . Причем, программа позволяет изобразить в одной системе координат сразу 16 графиков, но правда, если все функции будут от одного аргумента. А если аргумент для каждого задания кривых индивидуален, то на рабочей области, возможно, осуществить совместное отображение только максимум 10 графиков [2, 4].
Для того чтобы на одной системе координат было задано сразу несколько графиков необходимо выполнить очень простые действия. Во-первых, написать формулу нашей функции и выбрать уже ранее рассмотренный шаблон для построения двухмерного графика. Во-вторых, ввести значение аргумента и значения функция. Если вы описываем функции от одной переменной, то после ввода первого значения функции ставим запятую, тем самым создавая пустое поле для ввода значения другой функции и т.д. А затем просто щелкаем мышью вне графика, после чего на графике будут построены все задаваемые функции (рис. 2.3.1.) [ 1, 2, 4] .
Рис. 2.3.1. Построение нескольких графиков от одинаковой переменной в одной системе координат
А в том случае, когда функции заданы от разных переменных, то поступаем абсолютно аналогично, а значения аргументов также вводим через запятую, как и значения функций (рис. 2.3.2.) [1, 3] .
Рис. 2.3.2. Построение нескольких графиков от разных переменных в одной системе координат
Одними из самых распространенных заданий, при решении которых необходимо использовать график, являются задачи на нахождение экстремума функции, определение точек разрыва функции и т.д. В этих случаях пользователь может воспользоваться еще одной функцией выполняемой в Mathcad , а именно трассировкой графиков. Для этого необходимо выбрать команду меню Формат ( Format ), а затем График ( Graph ) и Трассировка ( X — Y Trace ). В результате в окне графика появится две пересекающихся штрихованных линии (рис. 2.4.1.) [ 2, 4] .
Рис. 2.4.1. Трассировка двухмерного графика
На панели X — Y Trace в строках X — Value и Y — Value будут отображаться координаты точек пересечения этих прямых с графиком. Таким образом, с помощью перемещая курсор мыши по заданному графику можно без проблем определить координаты всех его точек. Причем, если в открывшемся окне Trace около опции отслеживания точек ( Track Data Points ) флажок снят, то курсор мыши может перемещаться по всей рабочей области трассировки графика, иначе перемещение происходит только по самому графику. А вот кнопки Copy X и Copy Y , расположенные справа на панели X — Y Trace , предназначены для копирования координат искомой точки в буфер обмен, для возможности использования их в других документах [2, 3, 4].
Так же, в арсенале возможностей Mathcad , для форматирования графиков есть еще одна достаточно интересное и важное средство, которое заключается в увеличении фрагмента графика. Его можно реализовать, воспользовавшись следующим набором команд: Формат ( Format ), а затем График ( Graph ) и Масштаб ( X — Y Zoom ) (рис. 2.4.2.) [ 3, 4] .
Рис. 2.4.2.Форматирование масштаба двухмерного графика
Для того чтобы воспользоваться этой командой, на графике надо выделить именно тот фрагмент, который надо увеличить, и растянуть область с помощью курсора до необходимого размера. При этом в открывшемся окне X — Y Zoom появятся значения границ выделенной области. Для соглашения на внесенные изменения необходимо нажать в том же окошке на кнопку Zoom . Если же отредактированный вариант не устраивает, то на Отмену Unzoom . А если требуется вернуться к первоначальному варианту, то Full View . Конечно, на панельке еще есть две хорошо известные кнопки — OK и Cancel . В принципе они выполняют тебе функции, что и Zoom и Unzoom , но в этом случае, после реализации операции с помощью этих кнопок, панель X — Y Zoom будет закрыта [2, 3, 4].
Так же графики в Mathcad можно строить и в полярной системе координат , где каждая точка задается углом W , модуль радиус-вектора R ( W ). График функции обычно строится в виде линии, которую описывает конец радиус-вектора при изменении угла W в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2 p [2, 3].
Вначале надо задать функцию R ( W ). А д ля построения данного графика воспользуемся ранее рассмотренным перечнем шаблонов, из которого выбираем X-Y полярный график (Polar Plot) (рис.2.5.1.) [ 2, 3] .
Рис. 2.5.1. Шаблон для построения графика в полярной системе координат
После вывода шаблона следует ввести в позицию внизу W , а в позицию справа функцию R ( W ). После этого щелкаем мышью на рабочее поле вне графика и получаем необходимый график (рис . 2.5.2.) [ 2, 3] .
В случае необходимости, можно задать пределы изменения переменной W [3] .
Рис. 2.5.2. График функции в полярной системе координат
Так же в полярной системе координат можно построить график и параметрически заданной функции, т.е. значение аргумента и самой функции зависят от какого-либо параметра. Таким образом, если в Mathcad оба поля ввода функции зависят от одного параметра, то можно построить график неявно заданной функции [2, 3].
Так как форматирование графика в полярной системе координат во многом совпадает с форматированием графика в декартовой системе координат, то так же подробно рассматриваться не будет. Однако, следует отметить, что в раскрывающемся окне форматирования Полярные оси ( Polar Axes ) можно установить параметры для отображения угла ( Angular ) и радиус-вектора ( Radial ) (рис. 2.5.3.). А остальные вкладки, как уже было замечено, почти совпадают с характеристиками рассмотренными ранее [2, 3].
Рис. 2.5.3. Окно форматирования двухмерных графиков в полярной системе координат
При построении данного вида графика можно воспользоваться двумя способами.
I способ: построение поверхности путем задания массива данных.
Для этого необходимо:
1) Задать саму функцию f ( x , y ).
2) Затем задать границы изменения переменных x и y .
3) Далее задать матрицу аппликат поверхности. Так же следует отметить, что при задании элементов матрицы по формулам начальный индекс элементов матрицы по умолчанию равен нулю и обозначается символом ORIGIN. А для того, чтобы индексы первого элемента матрицы были равны 1, то записываем просто ORIGIN :=1.
4) Выбираем, из ранее рассмотренного перечня шаблонов, График поверхности (Surfa c e Plot).
5) В выбранном шаблоне необходимо заполнить только одну позицию у левого нижнего угла основного шаблона, занеся в нее имя заданной матрицы.
6) После этого щелкаем мышью на рабочее поле вне графика и получаем необходимый график (рис . 3.1.1.) [3, 4] .
Рис. 3.1.1. Пример построения трехмерного графика путем задания массива данных
II способ: построение поверхности без задания матрицы.
Для осуществления данного способа построения необходимо сначала задать функцию f ( x , y ), а затем ввести вышеописанных шаблон График поверхности (Surfa c e Plot). В выбранном шаблоне необходимо также заполнить только одну позицию у левого нижнего угла, занеся в нее имя заданной функции. А после щелчка мыши вне области графика получить результат (рис. 3.1.2.) [ 2, 3] .
Рис. 3.1.2. Пример построения трехмерного графика путем задания функции двух переменных
Использование данного вида графиков иногда более приемлемо, для количественных оценок. Так как при построении, например поверхности, некоторые части графика нередко закрывают друг друга. А при построении же контурных графиков такой проблемы не возникает [2, 4].
Для построения такого вида трехмерного графика необходимо воспользоваться шаблоном Контурный график (Contour Plot). Для его построения достаточно ввести в позицию на шаблоне также либо имя заданной матрицы, либо имя функции от двух переменных. Затем щелчок мыши вне поля графики и получаем результат (рис. 3.2.1.) [ 2, 4] .
Рис. 3.2.1. Пример построения контурного трехмерного графика
Так же задаваемую поверхность можно представить в виде находящихся в трехмерном пространстве кружочков, точек и т.д. Такое задание графика очень удобно, например, чтобы отследить траекторию точки [3, 4].
Процесс построения точечного графика немного отличается от предыдущих. А именно, в этом случае использовать можно не только матрицу, но и три вектора, которые содержат столько же элементов, сколько точек необходимо построить. При данном построении координаты x , y , и z определяются тремя элементами соответствующих им векторов. Причем, одним и тем же значениям y и x может соответствовать несколько значений z , т.е. одно и то же измерение может выполняться несколько раз. Также в трехмерном пространстве можно легко создавать и параметрические кривые. Причем, индексы векторов будут играть роль естественных параметров [2, 4] . Для того чтобы построить график данного вида необходимо воспользоваться шаблоном График 3D Разброса (3D Scatter Plot). А в позиции шаблона также достаточно ввести только имя заданной ранее матрицы. Затем щелчок вне поля графика и результат готов (рис. 3.3.1.) [2, 4].
Рис. 3.3.1. Пример построения точечного трехмерного графика
Существует возможность построения еще одного типа графика — Bar Plot . Для этого в подменю График меню Вставка выбирает шаблон График 3 D Полос (3D Bar Plot ). Производя уже известные действия, получаем следующих график (рис. 3.4.1.) [2, 4].
Рис. 3.4.1. Пример построения трехмерного графика типа Bar Plot
Этот график представляет собой поверхность из прямоугольников или иных простых фигур [2, 4].
Еще одним способом представления поверхности является векторное представление. Задается оно построением коротких стрелочек — векторов. В какую сторону происходит нарастание поверхности, в ту сторону и направлено острие стрелки [2, 4].
Надо сказать, что данный тип графика используется редко, т.к. расчет градиента поля для множества стрелок значительно осложняет задачу. Хотя в основном данный график используют для более наглядного представления тепловых, электромагнитных и других полей [2, 4].
Для построения данного графика используем шаблон Векторный График (Vector Field Plot). В нижнюю позицию на шаблоне так же необходимо внести либо имя заданной функции двух переменных, либо имя заданной матрицы M. Затем щелчок вне области графика и получаем результат (рис. 3.5.1.) [1, 4].
Рис. 3.5.1. Пример построения векторного трехмерного графика
Для того чтобы открыть окно форматов трехмерных графиков необходимо выбрать команду меню Формат ( Format ), а затем График ( Graph ) и 3 D график. Либо просто, в области графика, дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Таким образом, на экране появится следующее окно (рис. 3.6.1.) [2, 4] :
Рис. 3.6.1. Вкладка General
1) Вкладка General – позволяет редактировать используемые наиболее часто параметры необходимые для настройки вида, как самого графика, так и системы координат (рис. 3.6.1.) [3] .
За расположение графика в пространстве можно изменить, воспользовавшись меню View . А также, редактируя параметр Zoom , можно изменять масштаб графика [2, 3] .
При помощи меню Axes Style можно настраивать тип отображения системы координат:
ü Perimeter (периметр) – задается не статичное взаимоположение осей.
ü Corner (угол) – при повороте поверхности положение осей не меняется.
ü None (нет) – отображение графика без осей.
ü Equal Scales (равные шкалы) – отображение осей в равном масштабе [2, 4].
С помощью меню Display As можно определяем тип графика, которым задается поверхность:
ü Surface Plot – поверхность.
ü Contour Plot – контурный график.
ü Data Points – точки данных.
ü Vector Field Plot – векторное поле .
ü Bar Plot – диаграмма.
ü Patch Plot – «кусочечный график» [2, 4] .
2) Вкладка Axes – позволяет редактировать параметры осей координат (рис. 3.6.2.) [3] .
Рис. 3.6.2. Вкладка Axes
3) Вкладка Special позволяет задавать специальные параметры (контурных линий, столбцов и т.д.) (рис. 3.6.3) [3] .
Рис. 3.6.3. Вкладка Special
Например, с помощью меню Contour Option можно форматировать вид контурного графика:
ü Fill – залить график любым цветом из палитры.
ü Draw Lines – можно отображать на графике линии уровня.
ü Auto Contour – автоконтур.
ü Numbered – можно пронумеровать линии уровня графика [2, 4].
4) Вкладка Appearance позволяет редактировать внешнее оформление графика (рис 3.6.4.) [3] .
Рис. 3.6.4. Вкладка Special
При помощи меню Fill Option (Опции заливки) можно:
ü Fill Surface – залить поверхность .
ü Fill Contours – залить контуры.
ü No Fill – оставить без заливки [2, 4].
Используя меню Line Option (Опции линии) можно:
ü Wireframe – отобразить образующую сетку.
ü Contour Lines – отобразить линии контура.
ü No Lines – отобразить без вспомогательной сетки.
ü Hide Lines – спрятать линии [2, 4] .
А в меню Point Options (настройка точек) содержатся опции для отображения узловых точек поверхности. Причем, в списке Symbol можно самостоятельно выбрать символ, которым будет обозначаться узловая точка [2, 4].
5) Вкладка Backplanes позволяет устанавливать параметры заднего плана (рис. 3.6.5.).
Рис. 3.6.5. Вкладка Backplanes
6) Вкладка Lighting выбор схемы освещения и условия освещения (рис. 3.6.6.) [3] .
Рис. 3.6.6. Вкладка Lighting
7) Вкладка Title отвечает за параметры задание титульных надписей графика (рис. 3.6.7) [3].
Рис. 3.6.7. Вкладка Title
Таким образом, редактируя вышеизложенные параметры графика, заданные по умолчанию, пользователь может свободно экспериментировать в процессе форматирования трехмерных графиков.
Так как форматирование трехмерных графиков достаточно трудоемкий процесс, то для облегчения работы частенько используется Мастер построения трехмерных графиков.
Процесс создания начинается аналогично предыдущим, т.е. сначала задается матрица или же функция двух переменных. Затем в подменю График выбирается Мастер 3 D графиков [2].
В открывшемся окне (рис. 3.7.1.) необходимо выбрать тип графика [2].
Рис.3.7.1. Окно определения типа трехмерного графика
Далее выбираем необходимый вид графика (рис. 3.7.2.) [2] .
Рис.3.7.2. Окно определения вида трехмерного графика
Затем отмечаем необходимый цвет (рис. 3.7.3.) [2] .
Рис.3.7.3. Окно определения цвета трехмерного графика
В результате получаем (рис. 3.7.4.) :
Рис.3.7.4. Трехмерный график, построенный с помощью Мастера
Также Mathcad предоставляет возможность построить различные правильные многогранники. Правда, всего их может быть построено только 80 [4].
Для осуществления этой цели необходимо воспользоваться встроенной функцией Polyhedron (“# N ”), где N – это номер фигуры, т.е. целое число с диапазоном от 1 до 80 [2, 3, 4].
Пример построения объемной фигуры представлен на рис. 4.1.1 [4].
Рис.4.1.1. Построение куба
Применение данной функции значительно облегчает построение параметрически заданных объемных фигур. В этом можно абсолютно точно убедиться на следующем примере (рис. 4.2.1.) [ 3, 4] .
Аналогично пункту 4.1. вводим в маркер графической области теперь уже функцию CreateMesh ( F , s 0, s 1, t 0, t 1, sgrid , tgrid , fmap ), где
F – имя заданной функции или же матрицы значений.
s 0 – начальное значение первой переменной.
s 1 – начальное значение второй переменной.
t 0 – конечное значение первой переменной.
t 1 – конечное значение второй переменной.
sgrid – число линий сетки по первой переменной.
tgrid – число линий сетки по второй переменной.
fmap – карта отображения, т.е., по сути, система координат [2, 4].
Рис.4.2.1. Построение графика с помощью функции CreateMesh
Слева на рис. 4.2.1. показана исходная кривая, заданная функцией f ( x ), а справа дано построение объемной фигуры с применением форматирования для повышения наглядности графика [2, 4].
А с помощью данной функции CreateSpace очень удобно строить именно точечные трехмерные графики, например, в виде пространственных спиралей [2, 4].
При работе с шаблоном в маркер графической области теперь уже вводим функцию CreateSpace ( F , t 0, t 1, tgrid , tmap ) [2, 4] .
Отличие функции CreateSpace от CreateMesh состоит в том, что функция F , заданная в векторном виде, задается как функция от одной переменной tgrid . А диапазон ее изменений задается параметрами t 0 и t 1. Причем, tgrid отвечает за число точек графика, а tmap за число линий сетки. Пример использования данной функции приведен на рис. 4.2.2. [2, 4].
Рис.4.2.2. Построение графика с помощью функции CreateSpace
Во введении к данной работе уже отмечалось, что применение графики в различных областях деятельности очень актуально. Не обойтись без них ни физике, ни математике, ни астрономии и т.д. Вот только конкретные примеры, подтверждающие это, не слишком просты. Но все-таки имеются задачи прикладного характера, когда увидеть и даже самому организовать применение вышеперечисленных графических возможностей Mathcad не составляет большого труда.
Материалы данной работы позволяют несколько глубже изучить некоторые способы, а также обратить внимание на специальные возможности построения, например, трехмерных графиков. Таким образом, вышеизложенный массив вопросов и заданий разнообразен по своей тематике и сложности.
В основу данной работы положен принцип реализации поставленных целей и задач на небольшом по объему, информационно емком и значимом материале.
Рассмотренные вопросы могут быть использованы учителями общеобразовательных школ, а также студентами в период педагогических практик.
1. Mathcad в обучении информатике и математике: Учебное пособие. А.Р.Есаян, В.Н.Чубариков, Н.Д.Добровольский, А.Н.Сергеев. Тула: Изд-во ТГПУ им.Л.Н.Толстого, 2009. – 363 с.
2. Гурский Д., Трубина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. – Спб.: Пират, 2005. – 400 с.
3. Работа в среде Mathcad : Метод. рекомендации студентам физико – мат. специальностей. Е.В.Паршикова, Р.Р.Яфаева. Тула: Изд-во ТГПУ им.Л.Н.Толстого, 2005. – 74 с.
4. Графика в системе Mathcad : Метод. указания к лабораторной работе по курсу «Информатика». А.М.Никулин, Н.З.Емельянова. Москва: Изд-во МАТИ – РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003. – 76 с.
Занятие 3. Построение графиков функций в пакете Mathcad Графические области
Графические области делятся на три основных типа — двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.
Построение одного графика в декартовой системе координат
П остроение графиков в пакете Mathcad осуществляется с помощью панели инструментов Graph (Графики) см. рис. 1., которая открывается с панели инструментов Math (Математика). Построим график функции .
Для построения графиков в пакете Mathcad необходимо сначала задать функцию, по которой будет строиться график. Для этого указывается имя функции y, а в скобках обязательно обозначается ее аргумент x. После чего функции присваивается значение какой-то формулы: y(x):= (см. рис. 2).
После написания всей формулы необходимо щелкнуть на чистой области поля и выбрать на панели инструментов Graph двумерный график в декартовой системе координат 
.
П еред вами появится чистое поле, со знаками для ввода. Вниз вводится имя аргумента, а справа полностью указывается имя функции. После щелчка мышью вне графика появится изображение – график готов.
Примечание: обратите внимание, что в Mathcad при построении графиков функций не нужно определять аргумент х. По умолчанию программа сама строит график в диапазоне от -10 до 10 с учетом области определения.
Настройка графика
Если Вам необходимо сменить диапазон для значений х, то следует один раз щелкнуть по графику, а затем под шкалой указать минимальное (начальное) и максимальное (конечное) значение х (см. рис. 3).
Кроме того, после двойного щелчка по графику появляется дополнительный диалог его настройки. Здесь, в закладке X—Y Axes, можно указать наличие линий координатной сетки поставить флажок в поле Grid Lines. По умолчанию строится две вертикальных и горизонтальных линии. Однако, если снять флажок Auto Grid, можно указать произвольное количество линий сетки, как по горизонтали, так и по вертикали.
Закладка Traces позволяет изменить тип, толщину, цвет линии графика. В этом диалоговом окне слева находятся номера графиков, а правее производятся все настройки с соответствующим графиком (см. рис. 3).
При желании можно менять масштаб графика, увеличивать его отдельные области. Для этого на панели инструментов Graph имеется инструмент Zoom (масштаб). Для того, чтобы он стал активным следует выделить график щелчком мыши. Затем щелкнуть по инструменту нужному 
, а затем после появления вспомогательной панели следует мышью выделить необходимую область увеличения на графике (см. рис. 4).
Построение нескольких графиков на одной координатной плоскости
Д ля построения графиков на одной координатной плоскости сначала необходимо задать их в виде формул. Обратите внимание, что имена функций должны быть различны, а имя аргумента одинаковое. Далее, как и в первом случае, следует вызвать инструмент построения двумерного графика в декартовой системе координат с панели инструментов Graph, где внизу указать имя аргумента. Для того, чтобы справа появилось место для указания имени второго графика после ввода первого необходимо поставить запятую (см. рис. 5).