Типовые задачи курса тау
Использования пакета MATHCAD иллюстрирует решение типовых задач первой части курса ТАУ, посвященной линейным САУ. Ниже рассматривается построение годографов характеристического уравнения и АФЧХ, графиков амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ), логарифмических АЧХ и ФЧХ, решение задач устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста, а также построение переходного процесса.
Построение годографа афчх.
Построение годографа АФЧХ и АЧХ графиков вещественной и мнимой частотных характеристик включает следующие этапы:
-формирование параметров анализируемой передаточной функции:
-формирование выражения анализируемой передаточной функции:
-формирование линейного частотного диапазона:
-построение графика вещественной частотной характеристики:
-построение графика мнимой частотной характеристики:
-корректировка частотного диапазона для более точного построения годографа АФЧХ:
— построение графика годографа АФЧХ:
Текст соответствующего MATHCAD файла приведен в приложении 1.
Построение логарифмических афчх.
Построим логарифмические АЧХ и ФЧХ для примера, используемого в разделе 2.1.
Основной проблемой при построении логарифмических АЧХ и ФЧХ является задание декадно-логарифмического частотного диапазона, например: 1,2,3,…,9,10,20,30,…,90,100,200,…
Эта проблема решается следующим образом.
Задаются параметры частотного ряда:
w0:= 0.01 – начальная частота ряда;
n:= 4 – количество декад;
j:=1…9 – ряд частотного поддиапазона (декады);
Выражение для декадно-логарифмического частотного диапазона приводится ниже:
В результате вычислений формируется следующий частотный ряд:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики:
В данном случае p является формальным параметром выражения.
Строится график логарифмической АЧХ:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической фазо-частотной характеристики:
и непосредственно строится график логарифмической ФЧХ:
Следует отметить наличие разрыва графика при достижении абсциссой величины
–π / 2, что обусловлено областью определения арктангенса [–π / 2, π / 2].
Для построения непрерывного графика логарифмической ФЧХ необходимо сместить разрыв на – π, применяя функцию arg, тогда выражение примет вид:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение логарифмических АЧХ и ФЧХ приведен в приложении 2.
Построение годографа характеристического уравнения.
В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение, заданное следующим выражением:
Для частотного диапазона w:=0,0.01…7 построим годограф характеристического уравнения:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение годографа характеристического уравнения, приведен в приложении 3.
Критерий устойчивости ГУРВИЦА.
Использование MATHCAD при определении устойчивости САУ по критерию ГУРВИЦА требует знания команд формирования и редактирования матриц.
Рассмотрим процедуру использования MATHCAD при анализе следующего характеристического уравнения:
Для формирования шаблона определителя ГУРВИЦА сформируем матрицу, нажав клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует определения количества столбцов и строк. Задав размер матрицы: 6 6, получим следующий шаблон определителя ГУРВИЦА:
Полученный шаблон матрицы ГУРВИЦА заполняется согласно известному правилу [1-5] следующим образом:
Далее согласно правилу [1-5], необходимо вычислить все главные миноры определителя ГУРВИЦА. Для удобства и простоты общения с MATHCAD, вычислим все миноры, начиная со старшего.
Для вычисления определителя матрицы delta_6 необходимо сформировать символ определителя, нажав клавишу [ | ], и заполнить его именем матрицы delta_6. Получим следующий результат:
Для вычисления следующего минора delta_5 необходимо скопировать матрицу delta_6 ниже, используя клавиши [F2], [F4], и изменить имя минора на delta_5.
Чтобы удалить лишние в этом случае нижнюю строку и правый столбец, необходимо маркер подвести к нижнему правому элементу 1000 и нажать клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует пояснения для удаления (что будет означать знак -) или дополнения (знак +) текущей матрицы. Необходимо набрать -1 -1 и будет удалена нижняя строка и правый столбец. Выражение примет следующий вид:
Вычислим минор delta_5 приведенным ниже образом:
Аналогично составляются и вычисляются остальные миноры определителя ГУРВИЦА:
После анализа знаков и величин всех диагональных миноров принимается заключение об устойчивости САУ [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица, приведен в приложении 4.
Критерий устойчивости Михайлова.
Использование пакета MATHCAD при решении задачи устойчивости САУ по критерию Михайлова заключается в построении годографа в комплексной плоскости [1-5]. Рассмотрим эту задачу на следующем примере, описанном в разделе 4.2.1.
Дано характеристическое уравнение САУ:
Пусть частотный диапазон для анализа:
Построим годограф Михайлова в комплексной плоскости:
Проанализируем поведение годографа Михайлова [1-5]:
-начинается на положительной вещественной полуоси;
-вращается против часовой стрелки относительно начала координат;
-последовательно обходит 5 квадрантов.
Следовательно анализируемая САУ устойчива.
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Михайлова, приведен в приложении 5.
Критерий устойчивости Найквиста.
Задача определения устойчивости замкнутой САУ базируется на анализе поведения годографа АФЧХ в комплексной плоскости.
Исследуем устойчивость замкнутой САУ, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующее выражение:
Пусть частотный диапазон анализа:
Строим годограф АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости:
Анализ поведения годографа АФЧХ показывает, что замкнутая САУ устойчивая, т.к. при отсутствии положительных вещественных корней АФЧХ разомкнутой САУ не охватывает точку с координатами (-1,-j0).
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста, приведен в приложении 6.
Выделение областей устойчивости в плоскости одного
Задание: Определить допустимые вариации параметра К для системы, заданной следующей структурной схемой.
Зададим выражения передаточных функций:
Определим выражение комплексного коэффициента усиления К интегрирующего звена в цепи отрицательной обратной связи в следующем виде:
Построим фигуративную линию комплексного коэффициента усиления при
Определим точку пересечения фигуративной линии с вещественной положительной осью путем использования функций нахождения корней следующим образом:
Переменная первого приближения решения:
Результат получен с точностью до третьего знака, что задано конфигурацией MATHCAD.
Дальнейшая штриховка фигуративной линии и выделение областей устойчивости выполняется согласно известным правилам [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра 7.
Построение кривой переходного процесса.
Решение задачи построения кривой переходного процесса основывается на известной взаимосвязи вещественной частотной характеристики и переходного процесса.
Построим график кривой переходного процесса для следующей передаточной функции простейшего колебательного звена:
Проанализируем график вещественной частотной характеристики для частотного диапазона w:=0..100
Анализ показывает, что вещественная частотная характеристика постоянно имеет значения очень близкие к 0, начиная с частоты 30 рад/сек. Следовательно ограничимся рассмотрением именно этого частотного диапазона для построения кривой переходного процесса.
Итак, частотный диапазон w:=0..30.
Найдем значение вещественной части на нулевой частоте так как эта величина есть значение переходного процесса в установившемся режиме.
Построим график вещественной части характеристики для последнего частотного диапазона:
Опишем известную [1-5] взаимосвязь вещественной частотной характеристики и кривой переходного процесса:
Зададим временной диапазон анализа:
Последним этапом является непосредственное построение кривой переходного процесса
Полный текст MATHCAD файла, реализующего построение кривой переходного процесса САУ, приведен в приложении 8.
Построение АЧХ и ФЧХ для цепи
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции
Всем доброго времени суток. Суть проблемы такова: не могу понять как построить графики АЧХ и ФЧХ.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции
Здравствуйте. Смоделировал схему в симуляторе, а при моделировании в Mathcad получаются другие.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции типовых звеньев
помогите построить АЧХ и ФЧХ по выражению: w(p)=1/P(T*P+1)^2; т.к.Р=j*w, то.
АЧХ и ФЧХ
Помогите пожалуйста, сделать АЧХ и ФЧХ для формулы f
Сообщение было отмечено illiuha как решение
Решение
Сначала нужно определить передаточную функцию.
Теперь можно воспользоваться Маткадом:
АЧХ и ФЧХ
Кто-нибудь может подсказать в чем проблема ? Нужно построить вот такое.
Построить АЧХ и ФЧХ
Рассчитать АЧХ и ФЧХ схем. Построить на АЧХ и ФЧХ схемы 4.1а. Отметить на полученных.
АЧХ ФЧХ типовых звеньев
объясните, пожалуйста, почему не чертятся графики ачх и фчх?
Построить графики АЧХ, ФЧХ
Доброго времени суток! Прошу помочь с задачей в MathCad Ошибку есть , но я не знаю как решить.
Не получается построить АЧХ И ФЧХ
Есть расчёты фильтра НЧ и никак не могу понять как построить АЧХ И ФЧХ. Кто может подсказать? .
Построить АЧХ и ФЧХ активного фильтра
Здравствуйте! помогите построить АЧХ и ФЧХ активного фильтра по данному расчету
Построение графиков АЧХ и ФЧХ с определением их характеристик (Mathcad, EWB-5.12)
Для сравнения построим АЧХ и ФЧХ, используя программный симулятор EWB-5.12 (ПРИЛОЖЕНИЕ Е).
Для вычисления коэффициента прямоугольности воспользуемся формулой
где — полоса частот по уровню сигнала ,
— полоса частот по уровню сигнала .
Используя построенный график АЧХ в программном симуляторе EWB-5.12, определим
Таким образом, полоса частот по уровню 0,707:
Полоса частот по уровню 0,1:
Вычислим коэффициент прямоугольности
Данная цепь является с точки зрения фильтрации колебаний, полосовым фильтром, то есть в диапазоне частот от некоторой граничной частоты fгр1 до частоты fгр2, фильтр обеспечивает прохождение колебаний без заметного ослабления в полосе данных частот и значительное ослабление в полосе за пределами этих частот.
Заключение
В процессе выполнения курсовой работы мы освоили методы расчета схем с использованием вычислительной техники, компьютерного схемотехнического моделирования и экспериментальных исследований электрических цепей
На основе полученных знаний в процессе выполнения курсовой работы мы освоили следующие темы дисциплины «Общая электротехника и электроника»: переходные процессы, цепи гармонического тока; частотно-избирательные цепи; методы расчетов электрических цепей; электрические фильтры. Все это обеспечивает студентов необходимой подготовкой для предстоящих инженерных исследований.
Литература
1. Матвеев Б. В. Общая электротехника и электроника: учеб. пособие/Б. В. Матвеев. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. Ч. 1. 164 с.
2. Прянишников В. А., Петров Е. А., Осипов Ю. М. Электроника и ТОЭ в примерах и задачах: Практическое пособие. — СПб.: КОРОНА-Век, 2008. — 336 с.
3. Касаткин А.С. Курс электротехники: Учеб для вузов/ А.С. Касаткин, М.В. Немцов. — 8-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2005. — 542 с.: ил.
4. Афанасьева Н.А., Булат Л.П. Электротехника и электроника: Учеб. пособие. — СПб: СПбГУНиПТ, 2010 — 181 с.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
. 
. 
, (2.1)
где 
и 
соответственно входной и выходной сигналы системы. Преобразуем левую и правую части этого уравнения по Лапласу. В результате получим следующее алгебраическое уравнение
, (2.2)
где 
— оператор дифференцирования.
Передаточной функцией системы называется отношение выходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция рассматриваемой системы равна
. (2.3)
Частотные характеристики системы, в том числе элементарных динамических звеньев, могут быть получены при рассмотрении реакции системы на гармонические воздействия разной частоты. При прохождении через линейную систему гармонического сигнала разной частоты у выходного сигнала в общем случае изменяются только амплитуда и фаза, частота остается неизменной. К частотным характеристикам относятся:
— амплитудно — фазовая частотная характеристика (АФЧХ),
— амплитудная частотная характеристика (АЧХ),
— фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
— логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ),
— логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).
Рассмотрим частотную передаточную функцию, которая получается из передаточной функции (2.3) путем замены 
, где 
является частотой
. (2.4)
Функцию 
можно записать в следующем виде
, (2.5)
(2.6)
На комплексной плоскости представляет собой вектор, при изменении частоты 
от 
до + 
конец вектора описывает кривую, называемую амплитудно — фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Например АФЧХ может иметь следующий вид
Длина вектора равна 
. График 
является амплитудной частотной характеристикой (АЧХ)
На этой характеристике 
— полоса пропускания системы, 
— резонансная частота, а 
— частота среза.
Аргумент 
, представляющий собой угол между вектором и действительной положительной полуосью называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Кроме того, в соответствии с (2.5) график действительной части 
называется вещественной частотной характеристикой, а график мнимой части 
— мнимой частотной характеристикой.
Наряду с перечисленными частотными характеристиками самое широкое применение находят логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), а именно логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики — соответственно ЛАЧХ и ЛФЧХ. Для ЛАЧХ по оси ординат откладывают 
. Единицей измерения 
является децибел. Для ЛФЧХ по оси ординат откладывается значение угла в градусах. По оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, причем на отметке, соответствующей значению 
, записывается само значение частоты 
Ось ординат проходит не через точку 
, так как в этом случае 
, а через произвольную точку обычно малой частоты.
На рисунке 2.4 изображена так называемая реальная ЛАЧХ. На практике обычно ограничиваются построением асимптотических ЛАЧХ, представляющих собой ломаные линии (на рисунке пунктирная линия). Частоты при которых пересекаются асимптоты называются сопрягающими, они связаны с постоянными времени системы соотношением 
Получим в MATHCAD 7 частотные характеристики, рассмотренных в лабораторной работе №1 элементарных динамических звеньев. Частотные передаточные функции этих звеньев имеют следующий вид:
;
;
;
;
.
Рассмотрим также частотные характеристики форсирующих звеньев, имеющих следующие частотные передаточные функции:
;
.
Кроме того исследуем частотные характеристики двух неустойчивых неминимально-фазовых звеньев с частотными передаточными функциями
,
.
Программа в MATHCAD 7 получения частотных характеристик апериодического звена имеет следующий вид.
Задаем диапазон изменения
Записываем частотную передаточную функцию
Формируем вещественную и мнимую частотные функции
Формируем АЧХ и ФЧХ звена
Выводим графики частотных характеристик
Приведем, полученные в MATHCAD 7 частотные характеристики звеньев:
— безынерционного при k=10
— колебательного при k=10, T=0.1 и x=0,5.
— интегрирующего звена при k=10
— дифференцирующего звена при k=10
ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена первого порядка при k=1 и T=0,1 имеют вид
Необходимо отметить, что в отличие от апериодического звена наклон ЛАЧХ после точки сопряжения составляет +20 дБ/дек, а фазовый сдвиг стремиться к +90 градусов.
У форсирующего звена 2-го порядка (Рис.2.13) наклон ЛАЧХ после точки сопряжения составляет уже +40 дБ/дек, а фазовый сдвиг стремиться к +180 градусов.
Так как сдвиг фазы у рассмотренных звеньев стремиться у одного к +90 градусов, а у второго к +180 градусов, то поэтому эти звенья и относится к форсирующему типу.
Приведем, полученные в MATHCAD 7 ЛЧХ неустойчивого апериодического звена
и неустойчивого колебательного звена
Из анализа ЛАХ неустойчивых звеньев следует, что ЛАЧХ соответствующих устойчивых и неустойчивых звеньев совпадают. Фазовые сдвиги у неустойчивых звеньев по абсолютному значению выше, по сравнению с устойчивыми звеньями. Поэтому неустойчивые звенья и получили название неминимально-фазовых в отличие от устойчивых — минимально-фазовых звеньев.
2) Задание на лабораторную работу
а) Для апериодического звена получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ) при следующих исходных данных
| k | 0.5 | ||
| T | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
Оценить влияние на эти характеристики параметров звена k и T.
б) Для колебательного звена при исходных данных, приведенных в таблицах 2.2 и 2.3. получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ).
x  |
0.5 | 0.5 | 0.5 |
| k | 0.5 | ||
| T | 0.2 | 0.3 |
| x | 0.1 | 0.5 | 0.8 | |||
| k | ||||||
| T | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 |
Оценить влияние на эти характеристики параметров звена k,T и x.
в) Для интегрирующего звена при k=1, 10 и 100 получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ). Оценить влияние коэффициента передачи на вид характеристик.
г) Для дифференцирующего звена при k=1, 10 и 100 получить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ). Оценить влияние коэффициента передачи на вид характеристик.
д) Для неустойчивого (неминимально-фазового) колебательного звена при k=1, T=0.01 и x=0,1 получить ЛАЧХ и ЛФЧХ. Сравнить их с аналогичными характеристиками устойчивого колебательного звена.
3) Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
— частотные передаточные функции звеньев;
— аналитический вид частотных характеристик;
— полученные частотные характеристики;
— найденные значения частоты среза, частоты пропускания и резонансной частоты (если есть);
В выводах должна быть дана оценка влияния коэффициентов исследуемых звеньев на вид частотных характеристик.
4) Вопросы для самопроверки
1. Какие существуют частотные характеристики?
2. Какие параметры изменяются у синусоидального сигнала при его прохождении через линейную систему?
3. Что такое АФЧХ, как она находится, какие частотные характеристики по ней могут быть определены?
4. Как определяются логарифмические частотные характеристики?
5. Что такое частота сопряжения и как она определяется?
6. Как определить полосу пропускания системы?
7. Как влияет на вид ЛАЧХ колебательного звена изменение коэффициента демпфирования?
8. Какие звенья относятся к звеньям форсирующего типа и почему?
9. Какие звенья называются неминимально-фазовыми?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности.
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями.
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм.
Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени.
Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение. Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению.
Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и.
Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл.
Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура.
Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек.