1. Определение и понятие производной
Производной 
функции в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю т.е. 
2. Средства дифференцирования в MathCad
Оператор производной предназначен для нахождения значения производной функции в заданной точке.
Вызвать оператор производной можно следующими способами:
Используя ПИ производных и интегралов
для нахождения производной 1-го порядка
для нахождения производной n-го порядка
Для нахождения производной нужно:
1. Определить точку (или диапазон), в которой будет найдена производная;
2. Вызвать оператор нахождения производной:
появится шаблон нахождения производной 1-го порядка
шаблон нахождения производной n-го порядка
3. Заполнить шаблон данными:
2.1 Примеры нахождения производных
1. Найти производную функции 
в точке x=2.
2. Найти производную той же самой функции в точках x, на заданном интервале.
3.Найти вторую производную той же функции в точке x=3.5
3. Нахождение производной в общем виде
Для вывода на экран формулы нахождения производной необходимо:
на ПИ выбрать шаблон неопределенного интеграла производной;
набрать на клавиатуре Ctrl+.(точка);
4. Физический смысл производной
Пусть s=s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через ∆s путь, пройденный за промежуток времени ∆t от момента t до t+∆t, то есть ∆s=s(t+∆t)-s(t).
Отношение 
называется средней скоростью точки за время от t до t+∆t.
Мгновенной скоростью точки в данный момент времени t называется предел средней скорости за промежуток от t до t+∆t, когда 
:
или 
Ускорение точки в данный момент вычисляется по следующей формуле:
4.1 Пример применения физического смысла производной
Точка движется по закону 
. Определить ее мгновенную скорость в момент времени t=5 с.
5. Геометрический смысл производной
Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке a равен первой производной функции в данной точке: 
, где
β — угол наклона касательной к оси Ох.
Уравнение касательной имеет вид:
— угловой коэффициент касательной к графику функции, в точке x=a
5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке
Найти уравнение касательной к функции 
, в точке x0 = 2 и ее наклон к оси Ох.
6. Приложения производной
6.1. Экстремумы функции
Правило1 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака первой производной):
Пусть 
, то если при переходе через точку x0 функция f(x) меняет знак с + на – (с – на +), то x0 – точка локального максимума (минимума).
Правило 2 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака второй производной):
Пусть и 
, тогда если 
, то x0 – точка локального максимума (минимума).
Как найти производную в маткаде
8.2 Вычисление производных
Для вычисления производных необходимо выбрать соответствующую пиктограмму на панели «Исчисление». Заметим, что функция, ставящаяся под производную, может быть, как определена заранее, так и непосредственно под знаком производной. Так же очень важно, что при вычислении производной не возможно равенство правой и левой частей выражения, поэтому следует использовать знак символьных вычислений вместо знака равенства. Он находится на панели «Символика» и выглядит как стрелка направленная в правую сторону.
Для вычисления производных высших порядков MathCAD предусмотрена функция, которая находит производные n -го порядка. Заполнять плейсхолдеры рекомендуется, начиная со знаменателя, т.е. с той переменной, по которой производится дифференцирование (см. рис. 12).
MathCAD — это просто! Часть 13. Продолжаем бороться с дифференциальным исчислением
В прошлый раз мы с вами научились использовать возможности мощнейшей математической среды MathCAD для вычисления различных вещей, относящихся к дифференциальному исчислению: пределов, производных, сумм сходящихся числовых и функциональных рядов. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с тем, как в MathCAD вычислять многие важные вещи из ВУЗовского курса математического анализа. Надеюсь, что это будет для вас достаточно интересно.
Вычисление частных производных
Напомню на всякий случай, что частными называются производные от функций нескольких переменных, берущиеся по одной или нескольким переменным. Для вычисления частных производных в MathCAD’е используются те же самые операторы, которые мы с вами уже весьма успешно применяли для вычисления полных производных. Единственное отличие — это, конечно же, оформление оператора взятия производной. В математическом анализе для отличия частных производных от полных используется специальная запись, в которой буква d, обозначающая производную, и сверху, и снизу пишется наклонной. MathCAD, как и во всех остальных случаях, позволяет пользователю применять привычную запись. Для того, чтобы изменить внешний вид оператора производной, выделите выражение и кликните по нему правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню нужно выбрать пункт View Derivative As (Показывать производную как…), а в нем — Partial Derivative (Частная производная). Вы всегда можете вернуться к обычному отображению оператора производной, выбрав в том же самом меню пункт Derivative (Производная), который устанавливает для оператора производной вид оператора полной производной. Обратите внимание на то, что установка вида одного оператора взятия производной никак не влияет на все остальные операторы, как уже имеющиеся в вашей рабочей области, так и на те, которые будут добавлены в нее позднее.
Что касается такой весьма и весьма немаловажной вещи, как взятие смешанных производных, то она реализуется с помощью последовательного взятия частных производных по разным переменным. Хотя, конечно, в результате могут получаться и довольно громоздкие выражения, как, например, на иллюстрации, демонстрирующей применение нескольких операторов взятия производной для вычисления смешанных производных.
Неопределенные интегралы
Дифференцирование в математическом анализе неразрывно связано с интегрированием. Эти обратные друг другу действия — две стороны одной медали, а потому и мы с вами, поговорив об одном из них, перейдем к разговору о втором. У математиков есть шутка, что дифференцирование — это ремесло, а интегрирование — это искусство. MathCAD позволяет и интегрирование свести к уровню ремесла — если, конечно же, представлять себе, что в принципе может быть решаемо с помощью этой программы, а что нужно довести до того вида, в котором задачу уже можно «скармливать» MathCAD’у. Задача вычисления неопределенного интеграла обратна задаче нахождения производной функции. Неопределенный интеграл имеет также название первообразной, которое по ряду причин используется реже. Для вычисления неопределенных интегралов в среде MathCAD используется оператор, который можно легко найти на панели Calculus. Под знаком интеграла пользователь должен ввести функцию, для которой он хочет найти первообразную, а после знака дифференциала — переменную, по которой будет производиться интегрирование. Как видите, и здесь MathCAD верен себе, то есть дает пользователю возможность использовать, опять-таки, знакомые по математическому анализу обозначения неопределенных интегралов. Нужно отметить также, что для неопределенных интегралов необходимо применять символьное вычисление выражений, то есть знак «стрелочки», а не знак равенства.
Следует, впрочем, помнить, что многие интегралы просто принципиально не выражаются в элементарных функциях. В том случае, если вы подсунули MathCAD’у один из таких весьма распространенных интегралов, ситуация может иметь два различных финала: либо MathCAD успешно проинтегрирует выражение и выдаст результат с использованием каких-либо специальных функций, либо же честно признается, что его такое интегрировать не учили. Во втором случае вы увидите после «стрелочки», стоящей за интегралом, запись вида indef_int(f(x), x). Естественно, вместо f(x) и x будут соответственно стоять подынтегральная функция и та переменная, по которой вы хотели провести интегрирование. Оба возможных варианта продемонстрированы на иллюстрации ниже.
Со специальными функциями тоже все не так просто. Синтаксис, используемый для их записи в MathCAD’е, все же несколько отличается от принятого в математике, а потому, вполне вероятно, для того, чтобы разобраться в том, что за специальные функции скрываются за той или иной записью, придется воспользоваться справочной системой среды MathCAD. Для этого нажмите F1, в появившемся окне выберите вкладку Search, в поле рядом с кнопкой Go введите имя функции, информацию по которой вам нужно найти, а затем нажмите эту самую кнопку. Среди результатов поиска может оказаться и несколько разделов, и имеет смысл просмотреть их все.
В общем-то, даже в том случае, если MathCAD поднимает белый флаг при виде неопределенного интеграла, это не значит, что его вовсе невозможно вычислить в элементарных или специальных функциях. Вполне возможно, что с помощью каких-либо преобразований вам удастся привести его к виду, пригодному для решения в MathCAD. Также имеет смысл поискать решение в старых печатных справочниках или «погуглить» в интернете. Вполне возможно, что у MathCAD’а просто не хватило творческого воображения на то, чтобы до конца «раскрутить» ваш сложный интеграл.
Определенные интегралы
Неопределенные интегралы — это, конечно же, хорошо, но все же на практике куда как чаще используются интегралы определенные. И, думаю, для вас не окажется неожиданностью тот факт, что MathCAD прекрасно умеет справляться и с этим видом интегралов. Определенный интеграл, как вы понимаете, отличается от неопределенного наличием пределов интегрирования. Фактически неопределенный интеграл — это функция (первообразная подынтегральной функции), в то время как определенный интеграл — это просто какое-то число. То есть его мы можем вычислить не только аналитически, но и численно, что позволяет нам рассчитывать значения определенных интегралов даже тогда, когда первообразная рассчитана быть не может. Оператор для расчета определенных интегралов в MathCAD’е находится на панели Calculus недалеко от оператора расчета неопределенных интегралов и отличается от него, как я уже совсем недавно говорил, наличием пределов сверху и снизу от символа интеграла. После того, как вы запишете подынтегральное выражение, переменную интегрирования и собственно пределы, можно ставить знак равенства или стрелочку для вычисления определенного интеграла. В первом случае интеграл будет вычислен численно, во втором — аналитически.
Вопрос о том, какой способ вычисления интегралов использовать: численный или аналитический, — не такой надуманный и праздный, как может сначала показаться. Дело в том, что аналитически определенные интегралы вычисляются, во-первых, точнее, а во-вторых, быстрее, нежели численно. Правда, может возникнуть ситуация, аналогичная той, которую вы можете увидеть на иллюстрации выше — то есть символьный процессор не доведет процесс вычислений до конца, а оставит интеграл в виде смеси численных значений и функций. Впрочем, с этим всегда довольно просто справиться, как видите. Для вычисления кратных интегралов используется тот же прием, что и для вычисления смешанных частных производных для функций многих переменных. То есть мы последовательно интегрируем несколько раз функцию с заданными пределами, и в результате получаем именно то, что, в общем- то, и рассчитывали получить. Стоит отметить, что, поскольку при интегрировании кратных интегралов мы теряем при численном интегрировании особенно много времени, то здесь особенно желательно использовать именно аналитический способ вычисления интегралов.
В применении системы MathCAD для расчета определенных интегралов есть немало тонких моментов, которые не возникали при расчете интегралов неопределенных. Особенно это касается численных методов расчета интегралов. Как я уже говорил, эти методы позволяют рассчитать даже такие интегралы, которые не поддаются аналитическому вычислению. Однако за все надо платить, а потому использование численных методов интегрирования способно приводить к значительным погрешностям в результате, что, сами понимаете, при решении весьма значительного по своей распространенности класса задач не просто нежелательно, а часто даже совершенно недопустимо. О погрешностях при численном интегрировании в MathCAD’е и о том, как избежать того, чтобы они стали совсем уж гигантскими, мы с вами поговорим в следующий раз. А пока что давайте подведем итоги тому, о чем мы говорили сегодня.
Как видите, MathCAD с легкостью справляется с интегралами — пусть не со всеми, но с их значительной частью. Тех возможностей этой великолепной среды, о которых мы с вами уже успели поговорить в цикле статей «MathCAD — это просто!», на мой взгляд, как раз достаточно для того, чтобы прибавить вам энтузиазма в дальнейшем изучении этой программы.
SF, spaceflyer@tut.by
Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 26 за 2008 год в рубрике soft
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ Mathcad.
Производной, как известно, называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Математически производная функции f(x) в точке х определяется как:
f'(x)= 
В Mathcad для вычисления производной предусмотрена команда Symbolics / Variable / Differentiate. Для того чтобы данная команда была доступна, в рабочем документе в дифференцируемом выражении предварительно следует выделить переменную, по которой производная должна быть вычислена. Можно просто навести на эту переменную маркер ввода (для чего, например, достаточно на этой переменной щелкнуть кнопкой мыши).
Производная от выражения.
На Рис. 1 представлено выражение ax 2 + sin(bx), которое будет дифференцироваться по переменной х . Это выражение было предварительно введено в рабочий документ, и в нем маркер ввода наведен на переменную х в аргументе синуса.
Рис. 1. Дифференцируемое выражение. Рис. 2. Результат вычисления производной по х
После того как переменная в выражении выделена, выбираем команду Symbolics / Variable/ Differentiate. Результат выполнения команды по умолчанию отображается под тем выражением, от которого вычисляется производная ( Рис. 2 ).
С полученным выражением можно работать так же, как и с обычным, введенным пользователем в рабочий лист. Например, от этого выражения можно вычислить еще одну производную. Например пускай это будет производная по b . Выделяем эту переменную и в очередной раз выполняем команду Symbolics / Variable / Differentiate. В результате будет вычислена новая производная, которая отобразиться внизу под исходным выражением.
Таким образом, в документе можно вычислять производные практически от любых выражений. Хотя такой метод вычисления производных достаточно прост, он связан с рядом неудобств, которые становятся очевидными при решении более сложных задач:
· Прежде всего, этот метод не пригоден для вычисления производной от функции, определенной пользователем в рабочем листе. При попытке вычислить производную с помощью команды Differentiate результат будет представлен как формальная запись производной от функции. Чтобы получить значение производной в явном виде, придется прибегнуть к другим методам (в частности, использовать оператор вычисления символьного значения).
· Еще один обширный класс задач связан с вычислением производных высоких порядков. В этом случае придется несколько раз вызывать команду Differentiate, что не всегда приемлемо.
Поэтому на практике для вычисления производных часто обращаются не к помощи меню, а вводят команды непосредственно в рабочий лист. При этом очень удобны математические палитры Calculus и Evaluation.
Символьная производная
Вычислим производную от выражения, не прибегая к командам меню Symbolics. Для этого на палитре Calculus выберем кнопку с изображением символа производной ( Рис. 3 ). В результате этот символ с двумя заполнителями появляется в рабочем документе ( Рис. 4 ).
Рис. 3. Вставка символа производной. Рис. 4. Символ производной.
На месте нижнего заполнителя вводится переменная, по которой вычисляется производная, а на месте второго — дифференцируемое выражение. Если не прибегать к помощи команд меню Symbolics, то после ввода дифференцируемого выражения следует ввести оператор вычисления символьного значения ( стрелка вправо ). Это можно сделать, щелкнув на соответствующей кнопке палитры Evaluation. После ввода оператора вычисления символьного значения рабочий документ будет иметь вид, как на Рис. 5. Производная будет вычислена, если щелкнуть курсором мыши вне области вводимого выражения или нажать клавишу < Enter>. Результат вычисления производной представлен на Рис. 6.
Рис. 5. Ввод оператора вычисления Рис. 6. Результат вычисления производной
Несложно проверить, что точно такой же результат может быть получен, если воспользоваться командой Symbolics I Evaluate I Symbolically или нажать комбинацию клавиш < Shift> +< F9>. Правда, в этом случае результат отображается не справа от вычисляемого выражения, а под ним. Кроме того, между вычислением символьного результата с помощью команд меню и ключевых слов (т. е. инструкций, вводимых непосредственно в вычисляемые или преобразуемые символьные выражения посредством палитры Evaluation или Symbolic ) существует одна принципиальная разница: если выражение вычислялось через команды меню и затем в документ были внесены изменения, то результат таких вычислений не пересчитывается. При использовании ключевых слов результат обновляется автоматически.
Часто бывает необходимо вычислить производную от функции, определенной ранее в рабочем документе. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Производная от функции
Прежде всего, в рабочем листе определяем функцию пользователя f(z). В качестве такой функции рассмотрим зависимость:
f(z)=z ln(z) + exp(-az 2 ).
В документе функция пользователя определяется следующим образом: сначала вводится название функции, а в скобках после него указывается аргумент (или аргументы). После этого вводится оператор присваивания, вслед за оператором присваивания вводится математическое выражение, определяющее функциональную зависимость ( Рис. 7 ).
Рис. 7. Вычисление производной от функции пользователя.
Для вычисления производной функция указывается сразу после символа дифференцирования. Если затем ввести оператор вычисления символьного значения и нажать клавишу < Enter>, производная от функции будет получена ( Рис. 7 ).
Стоит обратить внимание, что при вычислении производной, как и в других аналогичных случаях, можно указывать в качестве аргумента переменную, отличную от заданной при определении функции. В рассмотренном примере функция содержит символьный параметр а. В этом случае, если предварительно, до определения функции, параметру значение присвоено не было, соответствующий символ в определении функции будет выделен специальным образом (по умолчанию красным цветом). В подобной ситуации необходимо быть предельно аккуратным при выборе переменной для аргумента функции. Например, если в описанной ранее функции указать аргументом переменную а, а затем по этой переменной вычислить производную, то в исходной функциональной зависимости параметр а рассматривается как переменная со всеми вытекающими отсюда последствиями (Рис. 8).
Рис. 8. Аргумент и параметр функции совпадают.
Кроме этого производную от функции можно вычислять по параметру, даже если он не указан явно как аргумент функции. Ситуация проиллюстрирована на Рис. 9 (последнее выражение). Там в качестве переменной, по которой вычисляется производная, указан параметр функции а.
Рис. 9. Вычисление производной по параметру функции
Рис. 10. Выбор символа производной Рис. 11. Ввод символа вычисления производной
Рис. 12. Результат вычисления сотой производной.
Рис. 13. Решение дифференциального уравнения с помощью процедуры odesolve ().
Рис. 14. Решение системы дифференциальных уравнений с помощью процедуры odesolve ().
Еще несколько замечаний относительно процедуры odesoive():
· Что касается ее аргументов, то последним из них можно указывать число шагов для поиска решения.
· Как отмечалось ранее, уравнения могут решаться различными математическими методами. По умолчанию в рамках процедуры odesoive() решение ищется по методу Рунге-Кутта с переменным шагом. Можно задать адаптивный метод или метод решения жестких уравнений. Для этого нужно выделить процедуру odesoive() и щелкнуть правой кнопкой мыши. В раскрывающемся списке есть несколько команд, позволяющих выбрать требуемый метод решения дифференциальных уравнений: команду Adaptive выбирают для адаптивного метода, а команда stiff полезна при решении жестких уравнений и систем. Процедура выбора команды для метода решения показана на Рис. 15.
Рис. 15. К объяснению метода Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальным условием у0 = у(х0) . Выбрав достаточно малый шаг h , построим, начиная с точки х0, систему равноотстоящих точек xi = x0 + ih (i = 0, 1, 2. ). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке [ x0, xi ] рассмотрим отрезок касательной к ней в точке M0(x0, y0), уравнение которой:
При x=x1 из уравнения касательной получаем у1 = у0 + h f(х0, у0). Следовательно, приращение функции на первом шаге равно ∆ у0 = h f(х0, y0). Проведя аналогично касательную к интегральной кривой в точке (x1, y1), получим:
что при х = х2 дает у2 =у1 + h f (x1, y1), т. е. у2 получается из у1 добавлением приращения ∆ y1= hf(x1, y1).
Таким образом, вычисление таблицы значений функции, являющейся решением ДУ, состоит в последовательном применении пары формул:
Метод Эйлера, как видно из рисунка, имеет погрешность. Известны различные уточнения метода Эйлера. Модификации данных методов направлены на уточнение направления перехода из точки (хi, уi) в точку (xi+1, yi+1). Например, в методе Эйлера—Коши (усовершенствованный метод) используют следующий порядок вычислений:
Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке (хi, уi, ) и во вспомогательной точке (xi+1, y * i+1) , а в качестве окончательного берется среднее значение этих направлений.
Пример 1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
Решить задачу Коши для ДУ 
y(x) = x + cos 
— на отрезке [1, 7; 2, 7] при заданном НУ: y(1, 7) =5, 3 и шаге интегрирования h = 0, 1 методом Эйлера с шагом h и h/2.
Решение.
Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на Рис. 16.
Рис. 16. Фрагмент программы с решением уравнения методом Эйлера с шагом с шагом h и h/2.
1. Составим программу, реализующую метод Эйлера (Рис. 17).
Рис. 17. Листинг программы, реализующий метод Эйлера.
2. Получим решение ДУ методом Эйлера с двумя шагами h и h/2( Рис. 18 ).
Рис. 18. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера.
3. Ответ: Решением ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1, 7; 2, 7] с НУ y(1, 7) =5, 3 методом Эйлера с шагом h и h/2 будет таблица значений ES_h и ES_h2 (Рис. 21).
Пример 2. Решение дифференциальное уравнение усовершенствованным методом Эйлера.
1. Задание функции, реализующей метод Эйлера—Коши ( Рис. 19 ). Аргументы функции: у0 — значение решения в точке х0 ; х0, xl — левый и правый концы интервала вычисления численного решения; N — число сетки, на которой ищется решение ДУ; f — имя функции, стоящей в правой части ДУ. Функция возвращает таблицу, состоящую из двух столбцов, первый столбец— значения аргумента, второй столбец— значения решения ДУ.
Рис. 19. Функция, реализующая метод Эйлера—Коши для ДУ первого порядка.
2. Нахождение численного решения ДУ на интервале [0, 5]:
А1: =Euler1(x0, y0, x1, N, f)
3. Визуализация численного решения ( Рис. 20 ).
Рис. 20. Численное решение ДУ y ’ =x 2 полученное методом Эйлера.
Дифференциальных уравнений.
На практике наиболее часто используют метод Рунге—Кутты четвертого порядка.
Пример 3.
Решить задачу Коши для ДУ y(x) = x + cos — на отрезке [1, 7; 2, 7] при заданном НУ: y(1, 7) =5, 3 и шаге интегрирования h = 0, 1 методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h.
Решение.
1. Вводим данные задачи:
f(x, y): = x +cos а: = 1.7 b: = 2.7
h: = 0.1 п: = 
у0: = 52
i: = 0..п
2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге—Кутты ( Рис. 21). Здесь: fn — заданная функция; a, b — концы отрезка; h — шаг; у0 — начальное значение функции.
Рис. 21. Листинг функции, возвращающей численное решение ДУ методом Рунге-Кутты.
Ответ: Решением ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1, 7; 2, 7] с НУ y(1, 7) =5, 3 методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h будет таблица значений RK_h и RK_2h (Рис. 21).